次方求解(1.5)^x = 2x

1.5^x = 2x,
則 x = ln(2x)/ln(1.5)
以 1 為初值, 疊代計算收斂於 x ≒ 6.215602


考慮 F(x) = 2x-1.5^x
則 F'(x) = 2-(ln(1.5))*(1.5)^x
同樣以 1 為初值, Newton's iteration x(new) = x - F(x)/F'(x)
收斂於 0.65105.
改用 10 為初值, 則收斂於 6.215602


解析: (有幾個實數解?)

F(0) = -1 <0,
F'(x) 是 x 的嚴格減函數, F'(x) = 0 發生於 x = ln(2/ln(1.5))/ln(1.5),
大約是 3.935894 的地方, 此點是 F(x) 最高點.

又, lim_{x→+∞} F(x) = -∞, 因為 1.5^x 增長速度遠大於 2x.
所以可知 F(x) = 0 有兩正實根 (也是唯二實根), 一小於 3.936,
另一則大於 3.936.



用 x = ln(2x)/ln(1.5) 只得到較大根; 改用
x = 1.5^x/2, 同樣以 1 為初值, 結果收斂至較小根, x ≒ 0.65105.

這題沒有trivial解

x約為0.65105或6.2156.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281.5%29%5Ex+%3D+2x%2Cx%3D%3F