怎麼證明其中一個整數a或b為奇數？ ？

「僅當」部分, a + b 是奇數.
設 a + b = 2n + 1, 則 b = 2n + 1 - a.
(情況一) : 若 a 是奇數, 即 a = 2p + 1,
b = 2n + 1 - (2p + 1) = 2n - 2p = 2(n - p), 即 b 是偶數.
(情況二) : 若 a 是偶數, 即 a = 2p,
b = 2n + 1 - 2p= 2(n - p) + 1, 即 b 是奇數.

所以, 若 a + b 是奇數. 則其中一個整數是奇數。

不失一般性，我們可以設a為奇數，b為任意整數。

a 為奇數，存在一整數k，使得a = 2k + 1

case1 若 b = 0
則 a + b = a 為奇數。

case2 若 b 不為零
則b為偶數 => 存在一整數m，使得b = 2m

=> a + b = 2(k + m) + 1

k + m 為整數，所以2(k+m) + 1為奇數

2013-09-25 23:01:37 補充：
若且僅當，我猜應該是英文的 if and only if，所以我還有一半未証。

重寫題目：
a, b in Z then
a + b is an odd number if and only if only one of x and y is an odd number

我前面寫了 <=

現在証明 =>
令 a + b為奇數
case 1
若a b有一個是0
不失一般性，設b = 0，那麼a + b = a 為奇數，ok。

2013-09-25 23:03:58 補充：
case 2-a
若a b 皆為奇數，那麼存在 s t為整數，使得a = 2s + 1, b = 2t +1
=>a + b = 2(s + t) + 2 為偶數 -><- 矛盾
=>a b不可能皆為奇數

case 2-b
若a b 皆為偶數，那麼存在 s t為整數，使得a = 2s, b = 2t
=>a + b = 2(s + t)為偶數 -><- 矛盾
=>a b不可能皆為偶數

綜合整個case2，a b 為一奇一偶