大學基礎數論一小題

若該數為 7 的倍數,則顯然為 7k 型。
若該數不為 7 的倍數,設該數為 m³ = n² (m、n為正整數) , 則 m√m = n ,
得 √m = n/m 為有理數, 故 m 必為平方數。
可令 m = a² (k為正整數) , 則該數為 a⁶ 不為 7 的倍數 , 從而 a 亦不為 7 的倍數。
由費馬小定理 , a⁶ ≡ 1 (mod 7) , 即該數為 7k+1 型。
綜上得證。

2013-09-24 00:37:53 補充：
m = a² (a為正整數)

2013-09-24 16:23:29 補充：
不引用費馬小定理的話,可用分類討論:
由原解已知該數為 a⁶ , 若 a 為 7k 型 , 則 a⁶ 亦為 7k 型結論成立。
否則 a 為 7k±1 、7k±2 或 7k±3 型 ,
對應 a³ 為 7k±1 、7k±8 或 7k±27 型 ,
亦即 a³ 為 7k±1 、7(k±1)±1 或 7(k±4)干1 型 ,
綜合之 a³ 為 7k±1 型 ,
而a⁶ - 1 = (a³ - 1) (a³ + 1) , 易見 (a³ - 1) 和 (a³ + 1) 中必有一者為 7k 型,
故 a⁶ - 1 必為 7k 型, 即 a⁶ 為 7k+1 型結論亦成立, 故證。

我的想法比較單純,費馬小定理對我來說有點深奧,
若某數為完全平方且為完全立方數,則它一定是另一整數的六次方,
設某數為 n^6
討論n= 7a, 7a+1, 7a+2,......7a+6 這些情況應該就可得證了吧.