數學題 plz help

注意平方數末位只能是 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 9。
亦即由同一數字組成的平方數只能由上述數字所組成。 考慮偶平方數 (2n)² = 4n² 必為 4 的倍數,
但 666...66 = 666... 600 + 64 + 2 = 4 (25 x 666...6 + 16) + 2 不為 4 的倍數 ,
故 666...66 (至少2個6)不是平方數。而6也不是平方數。
考慮奇平方數 (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1 ,
因 n 和 n+1 中必有一個為偶數 , 故 n(n+1) = 2m ,
得 (2n+1)² = 8m + 1。 但 555...555 = 555...5000 + 552 + 3 = 8 (125 x 555...5 + 69) + 3 不為 8m + 1 型, 故 555...555(至少3個5) 不是平方數。 類似地 111...111 = 111...1000 + 104 + 7 = 8 (125 x 111...1 + 13) + 7 不為 8m + 1 型, 故 111...111(至少3個1) 也不是平方數。而11也不是平方數。
於是 999...99(至少2個9) = 3² x 111...11 = 平方數 x 非平方數, 故 999...99 非平方數。
同理 444...44(至少2個4) = 2² x 111...11 = 平方數 x 非平方數, 故 444...44 非平方數。

因此所有由同一數字組成的平方數只可能是 0 , 1 , 4 , 9 。

2013-09-24 22:23:30 補充：
而 55 也不是平方數。

2013-09-24 22:39:10 補充：
5 也不是平方數。

你先引用一個傳統問題：
1, 11, 111, 1111, 11111, ...

當中只有一個平方數，就是 1 。

現在，你的問題只是一個延伸。
2, 22, 222, 2222, ...
3, 33, 333, 3333, ...
4, 44, 444, 4444, ...
...
9, 99, 999, 9999, ...

所以，答案只有１，４，９三個。

2013-09-22 22:45:38 補充：
0 也可算，那有四個。