高一數學多項式函數~多題求解(無答案)

1.若二次函數y=2x^2+x+k圖形恆在直線y=3x－1的上方，試求實數k取值
的範圍?
Sol
(2x^2+x+k)－(3x－1)>0
2x^2－2x+(k+1)>0
D=(－2)^2－4*2*(k+1)<0
4－8k－8<0
－4<8k
k>=－1/2

2.若二次函數y=f(x)的圖形通過三點(－1，0)，(3，0)，(5，6)，求
(1)對稱軸
Sol
(－1+3)/2=1
對稱軸：x=1
(2) f(x)與其最大值或最小值
y=f(x)=a(x－1)^2+b
f(-1)=4a+b=0
f(5)=16a+b=6
a=1/2，b=－2
y=(1/2)(x-1)^2-2
最大值：不存在
最小值：－2

3.設二次函數y=ax^2+bx+c圖形的頂點為(－1，18)，與x軸交於A，B兩點，
且AB=6，則序對(a，b，c)=?
Sol
y=a(x+1)^2+18=a(x^2+2x+1)+18=ax^2+2ax+a+18
設 ax^2+2ax+a+18=0之兩根為p，q
(p－q)^2=(p+q)^2－4pq=(－2)^2－4*(a+18)/a=36
(a+18)/a=－8
a=－2
b=2a=－4
c=a+18=16

4.設x，y為實數，若2x+y=4，求：
(1) x^2+y^2的最小值?
Sol
(x^2+y^2)*(2^2+1^2)>=(2x+y)^2
(x^2+y^2)*5>=16
x^2+y^2>=16/5
(2)xy的最大值?
Sol
x>0，y>0
(2x+y)/2>=√[(2x)y]
4>=2xy
2>=xy

5.已知二次函數y=ax^2+2bx+1/a，在x=2時，有最大值3，求a，b之值?
Sol
y=a(x－2)^2+3，a<0
=a(x^2－4x+4)+3
=ax^2－4ax+(4a+3)
4a+3=1/a
4a^2+3a－1=0
(4a－1)(a+1)=0
a=1/4(不合) or a=－1
2b=－4a=4
b=2

2x+y>=2sqrt(2xy)
4>=2xy
2>=xy.

y=2x-4

x^2+(2x-4)^2 = 5x^2-16x+16