等差等比3條問題

11. 美莉買了一台電腦。它的價值每年的折舊率為10%。設n年後該電腦的價值為$V(n)。考慮等比數列V1,V2,V3
公比:0.9
(b)若1年後該電腦的價值是$7200,至少要多少年該電腦的價值才會少於$7200的一半?

現價值 = $7200/0.9 = $8000
設 n 年後該電腦的價值才會少於$7200的一半
$8000 * 0.9ⁿ < $7200/2 = $3600
0.9ⁿ < 3600/8000 = 0.45
ln 0.9ⁿ < ln 0.45
n ln 0.9 < ln 0.45
n > (ln 0.45) / (ln 0.9)　方向改變因為 ln 0.9 < 0
n > 7.5788
所以起碼要 8 年後，電腦的價值才會少於$7200的一半。

12.一個城市2006年底的人口是5 000 000。估計該城市的人口每年增長4%。設2006年後n年該城市的人口為P(n)。考慮等比數列P1,P2,P3
公比:1.04
該城市在2007年底的人口:5200000
該城市在2008年底的人口:5408000
(c)問哪一年年底該城市的人口會首次比2006年底的人口多一倍?
設由2006年底開始計 n 年後, 人口會首次比2006年底的人口多一倍
P(n) = 5 000 000 * 1.04ⁿ > 5 000 000*2
1.04ⁿ > 2
ln 1.04ⁿ > ln 2
n ln 1.04 > ln 2
n > (ln 2) / (ln 1.04)
n > 17.67
所以要18年, 即 2006+18 = 2024 年。
[可能答案打錯了。]

13.陳先生在2005年的月薪是$M。他的月薪每年增加r%。已知陳先生每月會把月薪的20%儲蓄起來。設陳先生在第n年每月儲蓄為$T(n)(即2005年陳先生每月的儲蓄為$T1)

(a)(i) 試以M和r表示T
第一年儲蓄 $T(1) = $M * 20% = $0.2M
第二年儲蓄 $T(2) = $M* (1+r%) * 20% = $0.2M(1+r%)
第三年儲蓄 $T(3) = $M* (1+r%)² * 20% = $0.2M(1+r%)²
所以, 第n年儲蓄 $T(n) = $M* (1+r%)^(n-1) * 20% = $0.2M(1+r%)^(n-1)
T(n) = 0.2M(1+r%)^(n-1)

(ii)已知T1,T2,T3...是等比數列,試以r表示該數列的公比。
公比 = T(2)/T(1) = 0.2M(1+r%)/0.2M = 1+r%

(b)若T2=2160及T4=2520,問哪年開始陳先生每月至少儲蓄$3100?
T(2) = 0.2M(1+r%) = 2160
T(4) = 0.2M(1+r%)³ = 2520
T(4)÷T(2) 得 (1+r%)² = 2520/2160 = 7/6
1+r% = √(7/6)
0.2M(√(7/6)) = 2160
M = 9998.857078

設 T(n) = 0.2M(1+r%)^(n-1) > 3100
(1+r%)^(n-1) > 1.550177173
(n-1) * ln(1+r%) > ln(1.550177173)
(n-1) > ln(1.550177173) / ln(1+r%)
n > ln(1.550177173) / ln(1+r%) + 1
n > 6.687541958
n ≥ 7
留意 n = 1 代表 2005年
留意 n = 2 代表 2006年
留意 n = 7 代表 2011年
所以由2011年開始陳先生每月至少儲蓄$3100。