數學:數列求和問題

這最目會用到這個規則
1/[a(a+2)] = 1/2[1/a - 1/(a+2)]

1/[1(1+2)] + 1/[2(2+2) ]+ 1/[3(3+2)]+...+ + 1/[2013(2013+2)]
= 1/2[1/1 - 1/(1+2)] + 1/2[1/2 - 1/(2+2)] + … + 1/2[1/2013 - 1/(2013+2)]

把1/2全提出來
= 1/2[1/1 - 1/(1+2)] + 1/2 - 1/(2+2) + 1/3 - 1/(3+2) + 1/4 - 1/(4+2) +… + 1/2012 - 1/(2012+2) + 1/2013 - 1/(2013+2)]

觀察一下，每一項拆出來的正負項中，後頁的的那一項會與下兩項的的正項相消去。

例如原題目第一項分出來的-1/(1+2)，它會與第第三項分出來的+1/3相消，所以它是隔項相消，也就是每一項拆出來後面負的那項，會和下下項拆出來前面的正項相消，所以從第一項的負項會與第三項的正項相消，第二項的負項會與第四項的正項相消一直到倒數第二項
所拆出來的負項 -1/2014，及最後一項的 -1/2015這兩項沒有後項可以消。
然後第最面的兩項拆出來的正項也沒有人與它消
所以會留下

1/2[1/1 + 1/2 - 1/2014 - 1/2015]



其實更一般的通式是 1/[a(a+b)] = 1/b[1/a - 1/(a+b)]


2013-09-23 22:36:44 補充：
提示的1/(1*2)=1 - 1/2 = 1/1 - 1/2，它本身透露了分母是兩個相乘的數，它們差的值剛好等於分子的數時，可以拆成分之一的形式相減。

寫成式子來看 1/(ab)，若 b - a = 1，那麼可以寫成 1/a - 1/b，這也不雖理解，通分相減變成
b/(ab) - a/(ab) = (b-a)/(ab) = 1/(ab)

那因為這題的題目分母差2，你式著寫成1/a - 1/(a+2)，然後再通分相減看看，就能了解為何要乘 1/2。

Hint: 1/n(n+2) = ½/n - ½/(n+2).