圓r=cosQ與直線(cosQ+sinQ)=k相切.求k

r = cos θ　和　r(cos θ + sin θ) = k　相切。

留意 cos² θ + sin² θ = 1，即 sin² θ = 1 - cos² θ，
考慮 sin θ = √(1 - cos² θ)。

所以式二變成：
r (cos θ + √(1 - cos² θ) ) = k

結合式一得出：
r (r + √(1 - r²) ) = k

√(1 - r²) = k/r - r

1 - r² = (k/r - r)²　全式乘 r²

r² - r⁴ = (k - r²)²

r² - r⁴ = k² - 2kr² + r⁴

2r⁴ - (2k+1)r² + k² = 0

題目的相切條件可以演譯為此方程只有重根。

△ = 0

[-(2k+1)]² - 4(2)(k²) = 0

(2k+1)² = 8k²

2k+1 = ± 2√(2) k

[2 ± 2√(2)] k = -1

k = -1/[2 ± 2√(2)]

k = -1/[2 + 2√(2)] or -1/[2 - 2√(2)]

k = -[2 - 2√(2)]/{[2 + 2√(2)][2 - 2√(2)]} or -[2 + 2√(2)]/{[2 - 2√(2)][2 + 2√(2)]}

k = -[2 - 2√(2)]/(4-8) or -[2 + 2√(2)]/(4-8)

k = [2 - 2√(2)]/4 or [2 + 2√(2)]/4

k = [2 - 2√(2)]/4 or [2 + 2√(2)]/4

k = [1 - √(2)]/2 or [1 + √(2)]/2

k = [1 ± √(2)]/2

(A)

2013-09-19 01:24:12 補充：
對！　進哥這個解會更清楚～

=^o^=

2013-09-19 14:05:43 補充：
也請參考 進哥 和 螞蟻雄兵 的方法。

先把 Polar coordinate 轉成 Rectangular coordinate。

(x, y) = (r cos θ, r sin θ)

二線為：r = cos θ　即 r² = rcosθ　即 r²cos²θ + r²sin²θ = rcosθ
即 x² + y² = x ...(1)

和　r(cos θ + sin θ) = k　即 x + y = k　即 y = k - x ...(2)

2013-09-19 14:07:33 補充：
把 (2) 代入 (1) 得出：

x² + (k-x)² = x

x² + k² -2kx + x² = x

2x² -(2k+1)x + k² = 0

題目的相切條件可以演譯為此方程只有重根。

△ = 0

[-(2k+1)]² - 4(2)(k²) = 0

同上

k = [1 ± √(2)]/2

(A)

Sol
r=Cosθ
r^2=rCosθ
x^2+y^2=x
(x^2－x+1/4)+y^2=1/4
(x－1/2)^2+y^2=1/4
圓心(1/2，0)，半徑=1/2
r(Cosθ+Sinθ)=k
x+y－k=0
So
｜1/2+0－k｜/√2=1/2
2｜1/2－k｜=√2
2k－1=+/-√2
2k=1+/-√2
k=(1+/-√2)/2
(A)

把極座標化成直角座標比較清楚,
圓: 同乘r, r^2 = rcosQ ==> x^2 + y^2 = x
直線: r(cosQ+sinQ)=k ==> x + y = k
代入消去y 後,判別式等於0,代根的公式即可得k.