數學題3題大師請進

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[匿名]

2013-09-16 5:15 am

1. 求出所有的自然數n：在十進制中，一切由n-1個1及1個7構成的n位數都是質數。

2. 給定自然數n，考慮形式為1/(pq)的一切分數，其中p、q互質，0＜p＜q≦n，
且p+q＞n。證明：所有那樣的分數之和等於1/2。

3.證明：1984個連續正整數的平方和不是一個整數的平方。

較不好解的三題 20點~~！

P.S.大大們請至答案欄回答，才好給點喔!

更新1:

不好意思：請問第2題的(一)那兩行可以再說明清楚一點嗎?? 本人理解能力不是很好...... (就是什麼「多出的項符合p+q=k+1」那兩行)

回答 (1)

用戶9112

2013-09-17 4:19 am

✔ 最佳答案

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圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA05107138/o/20130916201826.jpg

2013-09-18 21:05:52 補充：
最容易理解的方法，是用實例說明：
n=5:1/(1∙5)+1/(2∙5)+1/(3∙5)+1/(4∙5)+1/(3∙4)
n=6:1/(1∙6)+1/(5∙6)+1/(2∙5)+1/(3∙5)+1/(4∙5)+1/(3∙4)
n=5轉到n=6時，要移走 1/(1∙5) 而加入 1/(1∙6)+1/(5∙6)
移走的p=1;q=5;p+q=6
加入的q=6

2013-09-18 21:06:18 補充：
n=6:1/(1∙6)+1/(5∙6)+1/(2∙5)+1/(3∙5)+1/(4∙5)+1/(3∙4)
n=7:1/(1∙7)+1/(2∙7)+1/(3∙7)+1/(4∙7)+1/(5∙7)+1/(6∙7)+1/(5∙6)+1/(3∙5)+1/(4∙5)
n=6轉到n=7時，要移走 1/(1∙6),1/(2∙5),1/(3∙4) 而加入 1/(1∙7)+1/(2∙7)+1/(3∙7)+1/(4∙7)+1/(5∙7)+1/(6∙7)
移走的p+q=1+6=2+5=3+4=7
加入的q=7

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