F.4 數學問題 (直線方程)(2) 急!

1. 考慮 L1 : 3x - ky - 7 = 0 和 L2 : (k - 4)x - 4y + 1 = 0 兩條直線。對於下列每個情況，求對應的 k 值。
L1 : 3x - ky - 7 = 0 => y = (3x - 7)/k = (3/k)x - 7/k = f(x)
L2 : (k - 4)x - 4y + 1 = 0 => y = [(k - 4)x +1]/4 = [(k-4)/4]x + 1/4 = g(x)
(a) 兩條直線互相垂直。
直線化成y = ax + b的型式時，a為斜率，b為y的平移
=>
f的斜率 = 3/k, g的斜率 = [(k-4)/4]

埀直時斜率相乘要等於 -1
=>
3/k．[(k-4)/4] = -1
=> (3k - 12)/4k = -1
=> 3k - 12 = -4k
=> 7k = 12
=> k = 12/7

(b) 兩條直線互相平行。
斜率要相等，但是平移量不能相等，所以有兩個條件式
斜率相等 =>
3/k = (k-4)/4
=> 12 = k^2 - 4k
=> k^2 - 4k - 12 = 0
=> (k-6)(k+2) = 0
=> k = 6, k = -2
平移量不相等 =>
-7/k 不等於 1/4
在k = 6 或 -2時，平移量都不會相等，所以就是k = 6 或 -2時

平行的情況下兩個函數不會相交，令 f(x) = g(x)時要無解
=> (3x - 7)/k = [(k - 4)x +1]/4
=> 4(3x - 7) = k[(k - 4)x +1]
=> 12x - 28 = k(k-4)x + k = (k^2 - 4k)x + k
=> 12x - (k^2 - 4k)x = k + 28
=> (12 - (k^2 - 4k))x = k+ 28
=> (-k^2 + 4k + 12)x = k+28
=> (-k + 6)(k+2)x = k+ 28現在開始分析這個等式
若k = 6 或 k = -2時，左半邊恒為0，右邊必不為0，所以無解
(若k不等於上述的情況，都可以解出x的值。)

2. 已知 P(-2 , 9)、A(0 , 6)、B(4 , 0) 和
直線 L1 : y = (-3/2)x + 6。求 PA : AB。
可以直接用點的公式來算出PA AB各自的長度後再來比
不過給了直線就試著檢查點是否在線，果真。

所以只要看這幾個點在x軸(或y軸)的位置的的長度比即可。
(利用平行線會把三角形的邊等比例分割)
P的x = -2，A的x = 0，B的x = 4
PA:AB = (0-(-2)): (4-0) = 2:4 = 1:2

3. 已知直線 L1 通過 A(5 , 5)，並垂直於
直線 L2 : x + 2y - 5 = 0 => y = -1/2 x + 5 => L2斜率 = -1/2
利用和第一題相同的觀念
(a) 求 L1 的方程。
L1的斜率 = 2
設L1: y = 2x + b，因為過A，把(5, 5)代入
=>
5 = 10 + b
=> b = -5
=> L2: y = 2x - 5

(b) 求 L1 和 L2 交點的坐標。
令 -1/2 x + 5 = 2x - 5
=> 5/2 x = 10
=> x = 4
x = 4時會相交，y = 2．4 - 5 = 3
交點(4, 3)

(c) 由此，求 A 和 L2 的垂直距離。(答案以根號表示。)
任意點 (x0, y0)到直線L: ax + by + c = 0 的距離 |ax0+ by0 + c|/√(a^2 + b^2)
(5,5)到 L2 : 1x + 2y +(- 5) = 0
=>
|1．5+ 2．5 + (-5)|/√(1^2 + 2^2)
= |10|/√5
=10/√5
= 2√5

剩下的再另外補上

2013-09-12 22:31:24 補充：
第一大題寫了兩個方法，忘記把因一個比較複雜的拿掉，佔了很多字數，剩下的發在意見

2013-09-12 22:37:02 補充：
4.(a) 求 m 的值。
OPQR是正方型，所以OP,OR是垂直的兩邊，斜率相乘 = -1
=> 3m = -1 => m = -1/3
過OP的線是-x/3

(b)
(i)過PQ的線平行OR，所以斜率相同，只差平移，可以設這條線 y = 3x + b，又過(8, 2)代入直線中 2 = 24 + b => b = -22
(ii)過RQ的平行OP，一樣的理由，設 y = -x/3 + c，代入Q點 =>
2 = -8/3 + c => c = 14/3

2013-09-12 22:50:30 補充：
5. 菱型的對角線會互相垂直平分，AC的斜率 = (9-1)/(2-8) = -8/6 = -4/3
(a) BD方程的斜率 = 3/4，設方程 y = 3/4 x + b, 過中心點E = (5, 5)
5 = 3/4．5 + b => 5/4

(b) AD 的方程 x + 7y - 65 = 0 => y = -x/7 + 65/7
BC 的方程L: y = mx + b
因為平行AD，斜率m = -1/7，過C = (8, 1)代入
1 = -1/7．8 + b => b = 15/7

2013-09-12 22:54:58 補充：
(ii) 利用過BD、過BC的方程式交點找B
3/4 x + 5/4 = -1/7 x + 15/7 => x = 1
=> y = 2
=> B = (1, 2)
AB長 = √(1 + 49) = √50 = 5√5

2013-09-12 23:02:49 補充：
6.
(a)CM 的方程和前面類似，不再做，C在x軸上，可以先設C = (a, 0)，然後過CM方程。不難求。

(b)
(i) 求 BD 的方程。有兩點可以求一直線。

(ii) 利用 (b)(i) 的結果，求 K 的坐標。兩直線相交於一點，前面也重覆做很多次了。不再求。
△AMC 和 △AKC共底，M K的Y值分別是高，共底的三角形，高的比就是面積比。

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