三角函數的兩個問題

1.設函數f(x)具有:f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),f(1/3)=2的性質,試求f(44/3)+f(14/3)的值??

f(44/3)=f(15-1/3)=f(-1/3)=-f(1/3)=-2


首先，你這樣表達不太好「f(15)怎麼不見了??」
你可以直接針對f(15-1/3)=f(-1/3) 地方來問就可以知道你的問題點。

因為:f(x+5)=f(x)，所以如果可以寫成f(A + 5)的時候，就可以變成f(A)

那麼整個題目我們只知道f(1/3) = 2，其它沒有辦法得到實際數字，所以要想辦法把題目變成 f(1/3)的樣子。

又f(-x) = -f(x)，所以我們可以知道f(-1/3) = -f(1/3) = -2

再來f(x+5)=f(x)這個條件，所以f(-1/3 + 5) = -f(1/3) = -2

那麼這時f( (-1/3 + 5) + 5) = f(-1/3 + 5) = -f(1/3) = -2

注意我把(-1/3 + 5)給括起來這個當是A，所以先消失一個5，再消失一個5

所以這樣下去每次變數+5的結果都一樣，所以15就是這麼消掉的。

這樣子了解嗎？

順道一提。
這函數有另外幾種名字，+5值會一樣，所以是週期函數
f(-x)=-f(x) =>是奇函數


2.1/1+sin1度+1/1+cos2度+1/1+tan3度+1/1+cot3度+1/1+sec2度+1/1+csc1度的值??

六個三角函數互相有些關係，你認識三角函數的六角型嗎？

sinα．cscα = tanα．cotα = secα．coaα = 1 注意哦，角度要相同。

先看1 + cotα = 1 + 1/tanα = (tanα + 1)/tanα
所以1/(1+cotα) 就會變成你的問題了。

1/1+cot3度=tan3度/1+tan3度

1/(1+sin1)+1/(1+cos2)+1/(1+tan3)+1/(1+cot3)+1/(1+sec2)+1/(1+csc1)
=1/(1+sin1) +1/(1+csc1) +1/(1+cos2)+1/(1+sec2) +1/(1+tan3)+1/(1+cot3)
= 1 + 1 + 1
= 3

看1/(1+sin1) +1/(1+csc1)就好

https://www.dropbox.com/s/zog2brelwkiuj56/20130907pic_03.png

所以相乘會變成1的那兩項相加後都變成1

2013-09-17 16:28:17 補充：
是的。剩下的我要補足字數 ^^

1.設函數f(x)具有:f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),f(1/3)=2的性質,試求f(44/3)+f(14/3)的值?
Sol
f(44/3)=f(29/3+5)=f(29/3)=f(14/3+5)=f(14/3)=f(－1/3+5)=f(－1/3)=f(1/3)=2
2.1/(1+Sin1度)+1/(1+Cos2度)+1/(1+Tan3度)+1/(1+Cot3度)
+1/(1+Sec2度)+1/(1+Csc1度)的值??
Sol
1/(1+Sin1度)+1/(1+Cos2度)+1/(1+Tan3度)+1/(1+Cot3度)
+1/(1+Sec2度)+1/(1+Csc1度)
=1/(1+Sin1度)+1/(1+Csc1度)+1/(1+Cos2度)+1/(1+Sec2度)
+1/(1+Tan3度)+1/(1+Cot3度)
=(1+Sin1度+1+Csc1度)/[(1+Sin1度)(1+Csc1度)]
+(1+Cos2度+1+Sec2度)/[(1+Cos2度)(1+Sec2度)
+(1+Tan3度+1+Cot3度)/[(1+Tan3度)1/(1+Cot3度)]
=(1+Sin1度+1+Csc1度)/(1+Csc1度+1+Sin1度)
+(1+Cos2度+1+Sec2度)/(1+Sec2度+1+Cos2度)
+(1+Tan3度+1+Cot3度)/(1+Cot3度+1+Tan3度)
=1+1+1
=3