高中數學問題（3題）

#1 圓周率是超越數，作不出來

圓周率是超越數的證明利用Lindemann–Weierstrass theorem

而超越數不能作圖的證明是根據抽象代數的Galois Theory所得到的結果

至於超越數是什麼，簡單來說

就是不論是一元幾次的實係數多項式，將超越數代入多項式得到的值都不為0

這部分我想高一生也許還很難理解

不過暫且得到一個結論就是：長度為超越數的線段無法用尺規作圖作出

#2 2^x=3

令x=p/q，p和q為互質之整數

則2^p=3^q

這意味著整數等於奇數

所以假設錯誤

x不為有理數

#3 |12^m-5^n| 之最小值，m,n為正整數

設k=|12^m-5^n|，那麼

k=0, 12^m=5^n (矛盾)

k=1, 12^m=5^n+1 或 12^m=5^n-1

12^m-1=5^n
→11|5^n (矛盾)

12^m+1=5^n
→13|5^n (矛盾)

k=2, 12^m=5^n+2 (矛盾)

基本上偶數k就沒有討論的必要

k=3, 12^m=5^n+3→12^m+2=5^n+5→5|12^m+2 (矛盾)

12^m=5^n-3→12^m+4=5^n+1→3|12^m+4 (矛盾)

k=5, 12^m=5^n+5 or 12^m=5^n-5→5|12^m (矛盾)

k=7, |12-5|=7 合

故|12^m-5^n|最小值為7



2013-09-06 22:47:22 補充：
更正：

#2

這意味著偶數等於奇數

2013-09-06 22:49:44 補充：
更正：

#3

k=3, 12^m=5^n+3→12^m-3=5^n→3|5^n (矛盾)

2. 2^(a/b)=3
2^a = 3^b
偶數 ＝ 奇數 （矛盾）

3.
https://www.facebook.com/groups/sincostancotseccsc/

第二題是 2^x = 3
Wan大看錯題目了.

圓週率是超越數，沒辦法用尺規找到。

x = ±√3，只要証明√3是無理數即可，google 根號2 無理數 証明
例如http://podcast.klsh.kl.edu.tw/sections/585/pages/1216?locale=zh_tw
如果有看不懂的點可以列出來討論

第三題目前沒想法