✔ 最佳答案
A = 0.686(x^2)/(0.8^x)
這應沒有公式解?
可以用數值疊代法, 例如二分法, 牛頓法, 不動點法等許多方法.
例如, 原式整理成
x = √(A*0.8^x/0.686) = F(x),
這等於找 F(x) = √(A*0.8^x/0.686) 之不動點.
直接疊代可得:
A = 1 時, 以 1 為起點, 疊代收斂至 x = 1.071337434
A = 3 時, 仍以 1 為起始 x 值, 疊代收斂至 x = 1.725081888
2013-09-05 22:01:08 補充：
A = 0.686(x^2)/(0.8^x)
這應沒有公式解?
可以用數值疊代法, 例如二分法, 牛頓法, 不動點法等許多方法.
例如, 原式整理成
x = √(A*0.8^x/0.686) = F(x),
這等於找 F(x) = √(A*0.8^x/0.686) 之不動點.
直接疊代可得:
A = 1 時, 以 1 為起點, 疊代收斂至 x = 1.071337434
A = 3 時, 仍以 1 為起始 x 值, 疊代收斂至 x = 1.725081888
令 y=f(x)=0.686(x^2)/(0.8^x).
則 f(x) 恆非負.
f(0) = 0.
x≠0 時, ln(y) = ln(0.686) + ln(x^2) - x*ln(0.8)
兩邊微分, 得
y'/y = 2/x - ln(0.8)
x>0 時, y'/y > 0, 故 f(x) 在 [0,∞) 嚴格遞增.
x<0 時, y' = 0 if and only if x = 2/ln(0.8).
當 x < 2/ln(0.8) 時, 2/x > ln(0.8), 即 y' > 0.
當 x > 2/ln(0.8) 時 2/x < ln(0.8), 即 y' < 0.
故 y = f(x) = 0.686(x^2)/(0.8^x) 在 (-∞,2/ln(0.8)] 遞增,
至 x = 2/ln(0.8) 得一相對高點 y = f(2/ln(0.8));
而後在 [2/ln(0.8),0] 這區間下降至 f(0)=0, 為絕對最低點;
然後在 [0,∞) 嚴格上升, lim_{x→∞} f(x) = ∞.
又: lim_{x→-∞} f(x) = 0.
因此, 對任意正數 A, 方程式 A = 0.686(x^2)/(0.8^x) 有
唯一正根.
對 0 < A < f(2/ln(0.8)) = 407.19683, 方程式有一正根
及二負根.
2013-09-05 22:05:04 補充：
令 F(x) = ln(0.686) + ln(x^2) - x*ln(0.8) - ln(A)
微分, 得
F'(x) = 2/x - ln(0.8).
牛頓疊代公式:
x(new) = x - F(x)/F'(x) = x - [ln(x^2)-x*ln(0.8) + ln(0.686/A)]/(2/x - ln(0.8))
如果此公式收斂, 它比前面那個方法快.
2013-09-07 10:53:03 補充：
不考慮負根, 則
對任意正數 A, 方程式 A = 0.686(x^2)/(0.8^x) 有唯一正根.
不動點法是就不方程式化為 x = F(x) 形式, 一直疊代.
本例 x = F(x) = √(A*0.8^x/0.686) 似乎是可收斂沒問題.
二分法即高中斐學 "勘根定理".
考慮方程式 f(x) = 0.
取 a, b 使 f(a)f(b)<0, 則 a 與 b 之間必有一實根 x 使 f(x)=0.
取 c = (a+b)/2, 看 f(c) 之正負. 於是可能 c 取代 a 或 b,
進行下一輪計算.
2013-09-07 10:53:14 補充：
牛頓法是利用微積分 f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a). 當 f(x)=0 時, 得
x ≒ a - f(a)/f'(a).
這三種算是最簡單易了解的數值方法了.
2013-09-07 11:01:47 補充：
"高中數學" 誤打成 "高中斐學" 了.
