高三下數學問題

高三下數學問題(1) y(x)=x^3-3x^2-9x+ky'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0x=3, -1y"(x)=6x-6y"(3)=18-6=12>0 => miny"(-1)=-6-6=-12<0 => maxy(3)=27-27-27+k=-27+k=min>=0 => k<=27 x=3, y(3)=最低點(負值), 往右上可以交正根, 往左上也可以交正根y(0)=k>=0 => 交在+y軸, 往左下可以交負根So 27>=k>=0......ans


(2) 36=4x^2+9y^2 => y^2=(36-4x^2)/9F(x)=6x^2+3xy^2+4x=6x^2+x(36-4x^2)/3+4x=(18x^2+36x-4x^3+12x)/3=(-4x^3+18x^2+48x)/3F'(x)=(-12x^2+36x+48)/3=-4x^2+12x+16=-4(x^2-3x-4)=-4(x-4)(x+1)=0x=4>3(超過橢圓右側) => 取x=3, or x=-1max=f(3)=(-4*27+18*9+48*3)/3=-4*9+18*3+48=-36+54+48=66.......ansmin=f(-1)=(4*1+18*1-48*1)/3=-26/3........ans
(3) 設直線為y=mx相切F(x)則: mx=F(x)=x^3+kx^2+1 => x^3+kx^2-mx+1=0......a且: m=F'(x)=3x^2+2kx => 3x^2+2kx-m=0...........bb的判別式=0=k^2+3m => m=-k^2/3.................cc代入b: 0=9x^2+6kx+k^2=(3x+k)^2 => x=-k/3......dc,d代入a:0=-k^3/27+k^3/9-k^3/9+1k^3/27=1 => k^3=27 => k=3......ans


2013-08-29 10:30:49 補充：
修正(1) 27>=k>0

2013-08-31 07:58:59 補充：
補充:

k=三根乘積(兩正一負)>0

1.利用根與係數原理

三根的乘積=-K

又兩正根一負根==>其乘積為負

- K < 0 == > K > 0

1.
x^3-3x^2-9x=-k
f(x)=x^3-3x^2-9x+k , 與y=-k 的交點 為 兩正 1負
先找極值：
f'(x)=x^2-2x-3=0 ==> x=3,-1
f(3)=-27
-27<-k<0 <==[看圖一下就知道]
0<27

2013-08-29 00:11:45 補充：
2.
x=3 cos t
y=2 sin t

6x^2+3xy^2+4x
=54 cos^2 t + 36 cos t sin^2 t +12cos t
=54 cos^2 t + 36 cos t (1-cos^2 t) +12cos t
= -36 cos^3 t+54 cos^2 t+48 cos t

cos t = k
f(k)= -36k^3+54 k^2+48 k

2013-08-29 00:11:51 補充：
f'(k)=-108 k^2 +108k +48=0
f''(k)=-216 k + 108
9 k^2 -9k -4=0 , k=4/3 , -1/3 代入 f''(k)
f''(4/3)<0 , f(4/3)為極大值
f''(-1/3)>0 , f(-1/3)為極小值
-1<=k<=1 [因為 k=cos t]
所以 在這個範圍內 f(k)的極小值 = f(-1/3)=36/27+54/9-16=-26/3
f(k)的極大值 =f(1)=-36+54+48=66

2013-08-29 00:40:50 補充：
3.
f(x) = x^3+kx^2+1
f'(x)=3x^2+2k x
切點(a,a^3+ka^2+1)
切線 y=(3a^2+2ka)(x-a)+(a^3+ka^2+1) 過(0,0)
-3a^3-2ka^2+a^3+ka^2+1=0
-2a^3-ka^2+1=0 ,
此方程式有三個根，其中兩根為重根
[此圖形與x軸有相切的點]
f(a)=-2a^3-ka^2+1
f'(a)=-6a^2-2ka=0 , a(3a+k)=0
因此f(0) , f(-k/3)為極值
f(0)=1 , f(-k/3)=(2/27)k^3-k^3/9+1=0 [切點在x軸上]
k^3=27,k=3

三題都好像答錯了！！！

2013-08-28 21:21:05 補充：
(1) Max=66; min=-26/3
(2) 0 < k <= 27
(3) k = 3