關於鴿籠原理的一些問題

1. 平面中有一些點,每三點中必有兩點距離小於1,
試証:從中至少可以找到8個點,它們均落在半徑1的一個圓內

2.在直徑為5的圓上放入10個點,
試証:其中必有兩個點的距離小於2
(之前做過類似題目,是將其分區,而每區最大距離<2,但這題真的不知要怎麼分...)

3.試証:在任意給出的12個正整數中,一定存在8個整數a1,.....a8 使得
( a1 - a2 ) * ( a3 - a4 ) * ( a5 - a6 ) * ( a7 - a8 ) = 1155

4.一個由21個小正方形組成的3*7矩形任意給每一個小正方形塗上紅or藍色
試証:不論怎樣塗色 ,必可在圖中找出一個矩形 他的四個角的小正方形顏色相同
(矩形至少2*2的大小)

5.有17位同學討論3個數學題目,其中任兩位同學只討論一個數學題目,
試証:至少有3位同學彼此討論的是同一個題目

6.一次集會有155個人參加,已知其中任三人必有兩人握過手
試說明必能找到一個人,至少與77人均握過手