數學問題(一次及二次方程),求解答。

1.設k為一常數。若二次方程x^2－3kx+(11－k)=0，有2個相等的實根，求k
Sol
有2個相等的實根
=>判別式 b^2－4ac=0
So
(－3k)^2－4*1*(11－k)=0
9k^2+4k－44=0
(9k+22)(k－2)=0
k=－22/9 or k=2

2.設k為一常數。若二次方程(x^2－11x－10)+k(x+2)=0有一個正二重實根，求k
Sol
(x^2－11x－10)+k(x+2)=0
x^2+(k－11)x+(2k－10)=0
D=(k－11)^2－4*1*(2k－10)=0
(k^2－22k+121)－4(2k－10)=0
k^2－30k+161=0
(k－7)(k－23)=0
k=7 or k=23
(1) k=7
x^2－4x+4=0
x=2(重根)
(2) k=23
x^2+12x+36=0
x=－6(重根不合)
So
k=7

3.設k為一常數。若二次方程x^2+6x－2=k(x－3)有2個相等的負實根，求k
Sol
x^2+6x－2=k(x－3)
x^2+(6－k)x+3k－2=0
D=(6-k)^2－4*1*(3k－2)
=(k^2－12k+36)－12k+8
=k^2－24k+44
=(k－2)(k－22)
k=2 or k=22
(1) k=2
x^2+4x+4=0
x=－2(重根)
(2) k=22
x^2－16x+64=0
x=8(重根不合)
So
k=2

4.設k為一實數。若二次方程x^2+4x+(k－1)=0 有非實根，求k的取值範圍
Sol
D<0
4^2－4*1*(k－1)<0
16－4k+4<0
k>5

一元二次方程式 ax^2+bx+c=0 的判別式 D=b^2-4ac 可以判別兩根的性質.
若 D>0, 方程式有兩相異實根
若 D=0, 方程式有兩相等實根 (你的朋友是對的)
若 D>0, 方程式沒有實根