高中銜接數學問題><20點:)

1.
a 和 b 是 x² + 4x - 9 = 0
兩根之和： a + b = -4
兩根之積： ab = -9

(1)
a² + b²
= (a² + 2ab + b²) - 2ab
= (a + b)² - 2ab
= (-4)² - 2(-9)
= 34

(2)
a³ + b³
= (a + b)(a² - ab + b²)
= (a + b) [(a² + 2ab + b²) - 3ab]
= (a + b) [(a + b)² - 3ab]
= (-4) [(-4)² - 3(-9)]
= -172

(3)
(1/a) + (1/b)
= (a + b) / ab
= (-4) / (-9)
= 4/9


*****
2.
1 / [(³√3) - 1]
= [(³√3)² + (³√3) + 1] / {[(³√3) - 1] [(³√3)² + (³√3) + 1]}
= [(³√9) + (³√3) + 1] / (3 - 1)
= [(³√9) + (³√3) + 1] / 2


*****
3.
-(4/a) + (1/b) = 1 ...... [1]
ab = 2 ...... [2]

由 [1]：
(a - 4b) / ab = 1
ab = a - 4b ...... [3]

[2] = [3] :
a - 4b = 2
a = 4b + 2 ...... [4]

把 [4] 代入 [2] 中：
(4b + 2)b = 2
4b² + 2b = 2
2b² + b - 1 = 0
(2b - 1)(b + 1) = 0
b = 1/2 或 b = -1

當 b = 1/2：
把 b = 1/2 代入 [4] 中：
a = 4(1/2) + 2
a = 4

當 b = -1：
把 b = -1 代入 [4] 中：
a = 4(-1) + 2
a = -2

所以 a = 4, b = 1/2 或 a = -2, b = -1

第一題
利用公式解 x = -2 - √13，-2+√13，設小的根是a，大的根是b
這幾小題你可以直接乘開來後計算，但是在此不這麼做
1) a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-4)^2 - 2 (-2 - √13)(-2 + √13)
= 16 - 2 [(-2)^2 - (√13)^2] = 16 - 2×(4 - 13) = 34

ps ab = (-2 - √13)(-2 + √13)是平方差的型態
= (-2)^2 - (√13)^2

2)利用上題結果，以及立方和公式
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)(a²+b²-ab) = (-4) (34 - (-9)) = -172

3)
1/a + 1/b =(a + b)/ab，剩下的自行練習一下吧。

第二題
有理化 1/∛3-1
利用立方差 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
令a = ∛3， b = 1
所以我們要乘上一個數來讓分母有理化卻又不能改變原本的值
=>
1/(a - b)] × [(a²+ab+b²)/(a²+ab+b²)]
分開討論
分母 = a³-b³ = 3-1 = 2
分子 = ∛9 + ∛3 +1
合併就完成了

第三題
-4/a+1/b=1 & ab=2

前面的式子先整理一下，等號左右同乘 ab
-4b + a = ab = 2

∵ab = 2 =>b = 2/a 代入上式
=>-4/a + a = 2
=> -4 + a² = 2a
=> a² - 2a - 4 = 0
a = 1+√5, 1-√5

把a等於不同情況的b算出即可，然後順便練習把b有理化吧。