✔ 最佳答案
income from an investment starts at $6000 a year and increases linearly and continuously at a rate of $200 a year
y: income, in dollars
t: time, in year.
y(0) = 6000,
dy(t)/dt = 200
So, y(t) = 6000+200t,
PV =∫_[0,T] y(t) e^{-rt} dt, r=0.05.
2013-08-24 08:03:43 補充：
若是永續的, 則
PV = ∫_[0,∞) (6000+200t)e^{-0.05t} dt = 120000 + 80000 = 200000
Ans. $200,000.00
2013-08-31 09:38:16 補充：
我記憶力很糟, 只能看著圖片把題目重新打出來放到這裡, 以便查閱.Suppose income from an investment starts at $6000 a year and
increases linearly and continuously at a rate of $200 a year.
Find the capital value at an interest rate of 5% compounded
continuously.
首先釐清一些疑問:(1) Capital Value(資產價值)與PV(現值)是一樣的嗎?
就投資問題而言, 或在會計處理上, 一項投資的 capital
value 就是該投資的 present value.
(2) perpetuity(永續)代表的是continuous(連續)嗎?
當然不是! continuously 是指變化為連續的.
"increases linearly and continuously" 指的是投資獲
得的收入變化採連續型處理. 令 y(t) 代表收入函數, 這
y(t) 名為 t 時的收入卻不是真正的收入, 真正在一年內
的收入是 y(t) 在某個長度為一年的區間的定積分.perpetual, 永續的. 如一個獎學金是永續的, 那就是定期
會發放, 無終止時間.一個投資收益期可能是有限的, 也可能是永續的. 此題
未明白敘述. 實務問題則根據實際情況決定; 但此題顯
然是課業練習或測驗題, 只能做假設:[假設]
因題目未明確說明投資收益是否永續不止, 更未說明資
本化收入 (把收入之累計現值當成此投資之價值, 即是
會計處理上所謂 "資本化".) 因此這裡假設此投資收益
永續不止.
凡涉及 "永續" 的收支問題, 必然不是簡單複利, 也不
可能求算 "終值"(final value). 所以, 只有 "永續年
金" 而無 "永續複利" 之說; 而且只會計算 "現值" 而
不會考慮 "終值".
所以, 這題是說:
某投資的收益函數 y(t) 是
(1) 直線性的; (2) y(0) = 6000; (3) dy(t)/dt = 200.
也就是說: y(t) = 6000+200t, t≧0.資本化方式是 at an interest rate of 5% compounded
continuously. 假設 5% 是指每年 5%, 實際年利率是
r = lim_{n→∞} [(1+0.05/n)^n - 1]
= e^0.05 - 1.
因此, 以間斷型方式計算,
Capital value = Y(1)/(1+r) + Y(2)/(1+r)^2 + ...
其中 Y(1) = ∫_[0,1] y(t) dt, y(2) = ∫_[1,2] y(t) dt,
以此類推.完全以連續型方式處理, t 時的收入 y(t) 現值是
p(t) = y(t)/e^{0.05t}
而此投資之資本化價值為
Capital value = ∫_[0,∞) y(t)e^{-0.05t} dt
= ∫_[0,∞) (6000+200t)e^{-0.05t} dt
簡單的分部積分可以得到結果, 答案應是 $200,000.00
2013-08-31 09:40:49 補充：
[假設]
因題目未明確說明投資收益是否永續不止, 更未說明資
本化收入 (把收入之累計現值當成此投資之價值, 即是
會計處理上所謂 "資本化") 考慮的有效期限, 因此這裡
假設此投資收益永續不止.
Ps.: 寫題解的建議: 把需要做的 assumption 明白寫出來.
2013-08-31 09:43:29 補充：
其實, 這是典型的 "等差變額永續年金現值" 練習題, "商用算術"
或現稱 "複利數學" 的教本可能有公式, 實務上可以直接套用.
