關於分式的恆等變形數學問題(國一)

1. 化簡(a－b)/(a+b)+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)+[(a－b)(b－c)(c－a)]/
[(a+b)(b+c)(c +a)]?
Sol
(a－b)/(a+b)+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)+[(a－b)(b－c)(c－a)]/[(a+b)(b+c)(c+a)]
=(a－b)/(a+b)+[(a－b)(b－c)(c－a)]/[(a+b)(b+c)(c+a)]+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)
=(a－b)/(a+b)*[1+(b－c)(c－a)]/[(b+c)(c+a)]+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)
=(a－b)/(a+b)*[2(a+b)c]/[(b+c)( c+a)]+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)
=2c(a－b)/[(b+c)( c+a)]+(b－c)/(b+c)+(c－a)/(c+a)
=2c(a－b)/[(b+c)( c+a)]+[(b－c)(c+a)+(c－a)(b+c)]/[(b+c)(c+a)]
=2c(a－b)/[(b+c)( c+a)]+2(bc－ac)/[(b+c)(c+a)]
=0

2. a^2+b^2=(a+b－c)^2且b<> 0，化簡下列式子：[a^2+(a－c)^2]/[b^2+(b－c)^2]?
Sol
a^2+b^2=(a+b－c)^2
a^2=(a+b－c)^2－b^2=(a+b-c－b)(a+b－c+b)=(a－c)(a+2b－c)
a^2+(a－c)^2
=(a－c)(a+2b－c)+(a－c)^2
=(a－c)(a+2b－c+a－c)
=2(a－c)(a+b－c)
b^2=(a+b－c)^2－a^2=(a+b－c－a)(a+b－c+a)=(b－c)(2a+b－c)
b^2+(b－c)^2
=(b－c)(2a+b－c)+(b－c)^2
=(b－c)(2a+b－c+b－c)
=2(b－c)(a+b－c)
So
[a^2+(a－c)^2]/[b^2+(b－c)^2]
=2(a－c)(a+b－c)/[ 2(b－c)(a+b－c)]
=(a－c)/(b－c)

3. 一次棋賽的計分方式為：勝2分 敗0分，和棋兩人各1分，每位選手都要
跟其他選手各比賽一次，已知男選手為女選手的10倍，但其總得分僅為
女選手的4.5倍 求這次比賽有多少女選手參賽?
Sol
設女選手x人
總積分=2*(11x)(11x－1)/2=121x^2－11x
So
(1212x^2－11x)/5.5=22x^2－2x
女選手保持不敗，女選手與女選手平手
每位女選手積分=20x+(x－1)=21x－1
22x^2－2x<=x(21x－1)
22x^2－2x<=21x^2－x
x^2－x<=0
x－1<=0
x<=1
x=1
有1位女選手參賽

4. 有若干個自然數，他們的平均為10，若從裡面去除最大的一個數，則剩下
的平均為9，反之，去除最小的一個數，剩下的平均皆為11．請問：(1)這些
數共有多少個? (2)這些數中最大的數是多少? (3)這些數中最小的數是多少?
Sol
設共有x個，最大的數是a，最小的數b
x>=2，b<=9
(10x－b)/(x－1)=11
10x－b=11x－11
b=11－x<=9
2<=x
x=2
最大的數是11，最小的數9

5. 已知3個全非為0的數x、y、z，滿足4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0，
求( 2x^2+3y^2+6z^2)/(x^2++5y^2+7z^2)的值為何?
Sol
ｘ　　ｙ　　ｚ　　ｘ　　ｙ　　ｚ
４　－３　－６　　４　－３　－６
１　　２　－７　　１　　２　－７
　　 　｜－３　－６｜　｜－６　４｜　｜４　－３｜
x：y：z=｜２　　－７｜：｜－７　１｜：｜１　　２｜
=33：22：11
=3：2：1
x=3p，y=2p，z=p
( 2x^2+3y^2+6z^2)/(x^2++5y^2+7z^2)
=(18+12+6)/(9+20+7)
=1