2個多項式方程式的問題

1. 若多項式方程式x^3+ax^2+bx+c=0的三根分別為2，2i，6
則多項是方程式x^6+ax^4+bx^2+c=0的實根有幾個?
Sol
2+2i+6=－a
a=－8－2i
2*2i+2*6+2i*6=b
b=12+16i
2*2i*6=－c
c=－24i
x^6－(8+2i)x^4+(12+16i)x^2－24i=0
(x^6－8x^4+12x^2)+i(－2x^4+16x^2－24)=0
求實根
x^6－8x^4+12x^2=0，2x^4－16x^2+24=0
2x^4－16x^2+24=0
x^4－8x^2+12=0
(x^2－2)(x^2－6)=0
x^2=2 or x^2=6
(1) x^2=2
x^6－8x^4+12x^2=2^3－8*4+12*2=0
(2) x^2=6
x^6－8x^4+12x^2=6^3－8*36+12*6=0
綜合(1)，(2)
x^2=2 or x^2=6
有4實根

2. 已知三次多項式ax^3+bx^2+cx+d的圖形通過(－1，8)，(0，－4)，且和
X軸相切於(1，0)，試求a，b，c，d
Sol
和X軸相切於(1，0)，=>過(1，0)
設 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x+1)(x－0)(x－1)+p(x+1)(x-0)+q(x+1)+8
f(0)=q+8=－4
q=－12
f(x)=a(x+1)(x－0)(x－1)+p(x+1)(x－0)－12x－4
f(1)=p(2)(1)－16=0
p=8
f(x)=a(x+1)(x－0)(x－1)+8(x+1)(x－0)－12x－4
=a(x+1)(x－0)(x－1)+8x^2－4x－4
=a(x^3－x)+8x^2－4x－4
f’(x)=a(3x^2－1)+16x－4
f’(1)=a(3－1)+12=0
a=－6
f(x)=－6(x^3－x)+8x^2－4x－4=－6x^3+8x^2+2x－4
a=－6，b=8，b=2，d=－4

不是的我自己也是用微分
因為這是出在學測複習卷的題目
我很好奇是否有不用微分的方法
因為微積分是高三下才教的
謝謝樓上^_^

版大可能對微分不懂， 讓小弟說明一下吧。

第２題利用微分很快(本人也是如此做出來的)

ax^b+cx^(b-1)+....jx+k ((k為常數項

進行微分成了 :

abx^(b-1) + c(b-1)x^(b-2)+j .

記住指數往下乘，指數減１

1.若多項式方程式y(x)=x^3+ax^2+bx+c=0的三根分別為2,2,6;則多項方程式f(x)=x^6+ax^4+bx^2+c=0的實根有幾個？(答：2個)Ans:y(x)=(x-6)(x-2)^2=(x-6)(x^2-4x+4)=(x^3-4x^2+4x)-(6x^2-24x+24)=x^3-10x^2+28x-24=> a=-10,b=28,c=-24代入下式裡面:f(x)=x^6-10x^4+28x^2-24=> g(y)=y^3-10y^2+28y-24 ;y=x^2g(2)=8-40+56-24=64-64=0g(6)=216-360+168-24=384-384=0=> y=2,2,6x=+-√2,+-√2,+-√6........ans=6ㄍ

2.已知三次多項式y(x)=ax^3+bx^2+cx+d的圖形通過(-1,8).(0,-4)，且和X軸相切於(1,0)，試求a.b.c.d(答：-6,8,2,-4)Ans:y(0)=d=-4y(-1)=-a+b-c+d=8 => a-b+c=-12.....(1)相切於(1,0)=有重根 => (x-1)^2y(1)=a+b+c-4=0 => a+b+c=4.........(2)y'(x)=3ax^2+2bx+c => y'(1)=3a+2b+c=0.....(3)(3)-(1): 2a+3b=12(2),(3): 2a+b=-4.....(4)相減: 2b=16 => b=8(4): a=(-4-b)/2=-6(2): c=4-a-b=4+6-8=2ans=(-6,8,2,-4)