請問這幾題國中生高中數學怎算

(1)設α,β為x²-17x+52=0之兩根,在α,β之間插入a,b兩數使其成等差數列,試求以a,b為兩根之方程式?
依據根與係數知:α+β=17 ,αβ=52
==>令α>β , α=13,β=4 利用等差中項性質: 2a=α+b ,2b=a+β解聯立知: a=10,b=7依據根與係數知:a+b=17 ,ab=70其方程式為x^2-17x+70=0
(2)設-6,a,b三數成等差數列a,b,54成等比數列,求a,與b之值? 2a=-6+b 利用等差中項性質b^2=54a 利用等比中項性質解聯立得:a=3/2,b=9或a=6,b=18 (3)四數a,20,30,50,若同減一個數後成等比數列,求(1)公比(2)a ?設新四數為a-d,20-d,30-d,50-d==>(20-d)^2=(a-d)(30-d) , (30-d)^2=(50-d)(20-d)
利用等比中項性質==>a=15,d=10新四數為5,10,20,40r=10/5=2所以公比=2 , a=15

2013-08-17 12:24:57 補充：
(4)設a,b,c既是等差數列,又是等比數列,試證a=b=c?

利用等差中項性質:2b=a+c

利用等比中項性質:b^2=ac

解聯立得:a^2+2ac+c^2=4ac ==>(a-c)^2=0 ==>a=c 帶回原式知:2b=2c ==>b=c

所以 a=b=c 得證

（3） a = 15

(1)設α，β為x^2－17x+52=0之兩根，在α，β之間插入a，b兩數使其成等差數
列，試求以a，b為兩根之方程式?
Sol
x^2－17x+52=0
(x－4)(x－13)=0
x=4 or x=13
在不影響解答下令α=4，β=13
4，a，b，13
a=4+d，a=4+2d，13=4+3d
3d=9
d=3
a=4+3=7
b=4+6=10
(x－7)(x－10)=0
x^2－17x+70=0

(2)設－6，a，b三數成等差數列a，b，54成等比數列,求a，與b之值?
Sol
2a=b－6
b^2=54a=27(b－6)
b^2－27b+162=0
(b－9)(b－18)=0
b=9 or b=18
(1) b=9 =>a=1.5
(2) b=18 =>a=6
(a，b)=(1.5，9) or (6，18)

(3)四數a，20，30，50，若同減一個數後成等比數列，求(1)公比(2)a?
Sol
a－p，20－p，30－p，50－p
(30－p)^2=(20－p)(50－p)
p^2－60p+900=p^2－70p+1000
p=10
a－10，10，20，40
a－10=1
a=11
r=10

(4)設a，b，c既是等差數列，又是等比數列，試證a=b=c?
Sol
2b=a+c
b^2=ac
4b^2=4ac
(a+c)^2=4ac
(a－c)^2=0
a=c
2b=2a
b=a
a=b=c

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