加減乘除的定義到底是甚麼?

加 = 總和
減 = 相差
乘 = 倍數
除 = 幾倍

以上都沒錯. 只是你的理解太狹隘了! 就像你說你讀的科系
只有背書技能, 我就無法接受. 即使與數學全然無關的科系、
課程, 也不會只有 "背書".

-1 + 2 = 1 仍是加總. 退一步進兩步, 總和效果是進一步.
5 - (-1) = 6 仍是 "相差". 進5步與退1步, 兩者相差 6 步,
　　　　　而１是: 前者(進5步)比後者(退1步)相對地前進 6步.
求學時別人在前進而你後退, 結果差距當然越來越大.

6*(1/2) = 3. 其中 (1/2) 是一半, 是5折, 是對折.
　　　　　 定價6元打對折(五折), 實價是 3元.
　　　　　 6個水果, 給一半, 那就是 3 個.
　　　　　 此例 1/2 仍是 "倍數".

6/0.5 = 12. 除式 a/b, a÷b, a 除以 b, 以 b 除 a, 表示在計算
　　　　　a 是 b 的幾倍?
　　　　　6 是 1/2 的 12 倍, 是除法有什麼問題?

至於加、減之等效, 乘除之等效問題, 既然上述基本的還沒搞懂,
就不必去煩惱這更進一層的東西了.


以上是冒著被判違規或被罵的心情回答的.

在數學裡面，加減乘除被視為集合上的二元運算

二元運算的定義如下：

給定集合A，二元函數F: A×A→A稱為集合A上的二元運算。給定集合A中兩個元素a，b，則按順序通常寫為aFb。更多時候，二元運算會採用某種運算符而不是字母做為標記。可以看出，「集合A上的二元運算」這樣的提法暗示了該運算在A上封閉。

抽象代數主要在探討由賦予運算方式及其滿足的公理化系統所構成的代數結構的性質

二元運算是抽象代數中的一種運算方式

而代數結構非常多樣：

有一個二元運算的代數結構的例子有：
廣群，擬群，么半群，半群，及最重要的群。

更複雜的例子則有：
環和體，模和向量空間，結合代數和李代數，格和布爾代數。

一般數學系的代數課便會仔細針對以上的代數結構做較深入的探討

有興趣不妨翻翻有關Abstract Algebra的書

裡面對於二元運算有非常詳盡的討論

2013-08-14 11:55:48 補充：
而最基礎的加法就是由Peano axiom來的

2013-08-14 12:00:18 補充：
減法是從加法定義來的
乘法是由加法定義來的
除法被視為乘法的逆運算

我的想法:
-1+2=1 可以解釋為 -1 與 2 的總和，但根據負數的定義，兩者相加會變小。
所以結果看起來是相減是因為- 1 是負數的關西，而 + 號只是讓兩數 [總和] 起來。
這樣想就簡單多了。+號的工作只有讓兩數[合體]。
而你說-1+2=1為何會變減法，只是你認為2 - 1跟- 1 + 2的結果相同而這麼想。
我們認定這個式子是加是減是根據上頭的 + 或者 - 號決定，並不是實際相加相減
的兩數的正負號決定。

由於我只是高中生，我有點看不懂6*(2^-1)=3的[ ^ ]是神麼意思= =
而你的 6 / 0.5的答案因該是 12 。

而根據我上面的解釋，我覺得加減乘除只是一種工具，只負責她們分內的工作
(加=總和、減=相差
乘=某數的連續相加、除= 某數的連續相減)
而一些特殊的性質就要參考那些性質的定義，這並不影響加減乘除的定義。只
是她們照著程序去應付一些特殊的客人~

希望有幫到你。

2013-08-14 11:23:10 補充：
樓上的解釋比我高明的多了~~也讓我上了一課。