在拋射體運動中，水平運動與鉛直運動是各自獨立的?如何證明?

這個問題的起源於: 向量如何分解? 基底(basis)如何選擇?

你有一個向量, 比如說速度V,以平面運動為例,
你可以把這個向量分解在兩個方向上, 例如: {x方向, y方向}
但是你也可以把這個向量分解到隨意兩個方向上, 例如: {x方向, 第一象限60度仰角方向}, 或{第一象限30度仰角方向, 第一象限80度仰角方向}...有無限多組分解向量的方法.

要選哪一種向量分解的方向呢?
數學上為了處理"方便"起見, 要選互相"正交"(俗話說"垂直") 的兩個方向為基底.
正交(垂直)就是互相獨立的意思,就是說y方向速度不能在分解到x方向上.
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[說明] :

例如
V= ax+by , a就是速度的水平方向分量, b就是速度的垂直方向分量
若把速度分解到 V=cx+dq ( q為45度仰角的方向),x方向分量是c
x和q方向非正交(不是互相垂直), 不是互相獨立,
則q可分解到x方向, 和另一個方向q'
if q= ex +f q' , 則 向量V變成:
V=cx + dq= cx+d( ex+fq')
= (c+de)x + fq' 分解到x和q'兩方向
現在x方向分量大小是 c+de, 但我們知道這樣分解是毫無意義的,
因為V= ax+by= cx+dq= (c+de)x+fq'=...還有很多分解法
哪一種分解法才有意義, 才能代表真正的水平分量呢,
我們應該已經看出來, 水平分量是 a! 要選互相垂直{x,y}的這一組!
要選用互相正交的(互相獨立)兩方向, 這是數學家的經驗, 知道這樣處理會方便!



證明水平運動與鉛直運動 是線性獨立的?→也許也是一種證明方式?
我擔心用純數學的正面解法不容易了解, 我用反面解法:
如果你取的不是線性獨立的兩方向, 例如 :{x,q} ,
會造成其某方向分量大小不能確定下來的窘境!( 水平分量是a? 是c? 是c+de?)
所以要把向量分解到互相正交的基底上(互相正交就是互相獨立). 可以得到"正確的"方向分量.
(這一題我只要說明水平方向和鉛直方向是線性獨立的, 就把它應用到物理: 水平運動和鉛直運動是互相獨立的!)

當物體在做二維運動時，

假設它是在傳統直角坐標系中進行 "相對於原點的斜直線運動" ，

那麼它的向量位移就是 r = x i + y j ，

x 意指物體對於y座標的距離；

y意指物體對於x座標的距離。

我們現在要得知物體在P點時的瞬時速度，

那麼我們可以對向量位移作微分，

速度 V =dr/dt= (dx/dt) i+ (dy/dt) j = Vx i+ Vy j，

而這就證明了水平運動和垂直運動的獨立性了，

因為物體的總速度是由Vx和Vy所組成，

就算把它們拆開作分別運算也互不影響。