數學乘數問題 10點!!

由於你所問的數是 2013! = 2.842867 * 10^5778（大約），
所以有 5779 個位。

http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=2013!

至於你說步驟。
可以考慮取 common logarithm，
我先舉一個容易的例子：求 2013^2013 有多少個位。

首先要知道 100 = 10^2 有三個位 log (100) = 2，
　　也知道 1000 = 10^3 有四個位 log (100) = 3。
因此你可以推測到 log 後再 round up就是你要的答案。

所以計算 log(2013^2013) = 2013*log(2013) = 6650.637519，
會知道 2013^2013 有6651個位。

所以你餘下的問題是如何計算 log(2013!) = log(1*2*3*...*2013)
= log(1)+log(2)+...+log(2013)，不能吧？

所以我覺得要解你這題目（如不用電腦只用計算機），那只可以用Stirling's approximation。
n! 大概等於 (n/e)^n * sqrt(2*pi*n)

所以 log(n!) 大概等於 n*log(n/e) * 0.5log(2*pi*n)
〔記住我這個log是common log，不是natural log。〕

因此， log(2013!) 大概等於 2013*log(2013/e) * 0.5log(2*pi*2013) = 5778.453739，所以也得到我上面所提及的答案 5779。

參考：
http://mathforum.org/library/drmath/view/68245.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

2013-08-11 14:40:16 補充：
哦～Jacky～原來係咁～
咁放心啦～
答案絕對係０。

因為你問果個數一定係１０的倍數。
因為１至２０１３當中有好多個０字尾的數，例如１０，２０，１００，１５００。
有佢地相乘，個尾數（個位數）必定係零。

（其實即使當中無零，有５同埋雙數都可以乘出１０的倍數）