MQ89 --- Diophantine Equation

4x³ - 3y² - 1 = 0
4x³ - 4=3y² - 3
4(x³ - 1)=3(y² - 1)
4(x - 1)(x² + x + 1)=3(y - 1)(y + 1)
(y - 1)(y + 1)是連續偶數且能被4整除
(x - 1)(x² + x + 1)=3(n)(n+1) ,[4(n)(n + 1)=(y - 1)(y + 1)]
(x² + x + 1)>=(x - 1)
當n(n+1)不等於0
(x² + x + 1)不能等於(n)(n+1),(x - 1)也不能等於3(n)(n+1),且x一定是單數
1.(x - 1)=3(n),(x² + x + 1)=(n+1) or
2.(x - 1)=3(n+1),(x² + x + 1)=(n) or
3.(x - 1)=(n+1),(x² + x + 1)=3(n) or
4.(x - 1)=(n),(x² + x + 1)=3(n+1) or
5.(x - 1)=(n)(n+1),(x² + x + 1)=3

1.(x - 1)=3(x² + x)
3x² + 3x- x+ 1=0
3x²+2x+1=0
(無解)

2.(x - 1)=3(x² + x + 2)
3x²+3x+6-x+1=0
3x²+2x+7=0
(無解)

3.(x² + x + 1)=3(x - 2)
x² + x + 1- 3x +6=0
x²-2x+7=0
(無解)

4.(x² + x + 1)=3x
x² -2x +1=0
(x-1)=0 設了n(n+1)不等於0 (暫無解)

5.3>(n)(n+1)
n²+n-3<0
n只能是1,-2

總結:
n只能0,-1,1,-2
(x - 1)(x² + x + 1)=3(n)(n+1)
當 n(n+1)等於0
(x - 1)(x² + x + 1)=0
x=1,y=1 or -1
當 n=1
x³ - 1=6
x³=7 (無解)
當 n=-2
x³ - 1=6
x³=7 (無解)

所以有解2組
(x=1,y=1) (x=1,y=-1)

2013-08-13 01:53:39 補充：
OH! 察覺不了
還有是Nature number

2013-08-13 01:55:23 補充：
where x, y ∈ N.
只剩一組解 (1,1)
由意見者：☂雨後晴空☀ ( 知識長 )提供
x³ + n³ = (n + 1)³
由 Fermat's last theorem 知 x , n 無自然數解, 故只能 n = 0 , x = 1 ,
得 y = 1。

利用002回答者問( 小學級 5 級 )的第6行結果 :
(x - 1)(x² + x + 1) = 3(n)(n+1) ... [其中 4(n)(n + 1) = (y - 1)(y + 1)]
x³ = 3n² + 3n + 1
x³ + n³ = n³ + 3n² + 3n + 1
x³ + n³ = (n + 1)³
由 Fermat's last theorem 知 x , n 無自然數解, 故只能 n = 0 , x = 1 ,
得 y = 1。

Use Fermat's last theorem

Solve 4x³ - 3y² - 1 = 0, where x, y ∈ N. Ans:x=y=1是一組解答Let u=x^3, v=y^2則可以寫成二元一次方程式: 4u-3v=1獲得: u=1+3k, v=1+4k; k=自然數所以x=(1+3k)^(1/3), y=√(1+4k)x,y再也沒有自然數可求取了!!ans=(1,1)