高一數學/數與式

｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜之最小值______
Sol
3x－2=0=>x=2/3
2x－5=0=>x=5/2
x－3=0=>x=3
　　　　２／３　　　　　５／２　　　　　　３
─────＊───────＊───────＊─────
(1) x<=2/3
｜3x－2｜=2－3x，｜2x－5｜=5－2x，｜x－3｜=3－x 代 x=0
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜
=(2－3x)+(5－2x)+(3－x)
=13－6x
6x<=4
－6x>=－4
13－6x>=9
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜>=9
(2) 2/3<=x<=5/2
｜3x－2｜=3x－2，｜2x－5｜=5－2x，｜x－3｜=3－x 代 x=1
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜
=(3x－2)+(5－2x)+(3－x)
=6
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜=6
(3) 5/2<=x<=3
｜3x－2｜=3x－2，｜2x－5｜=2x－5，｜x－3｜=3－x 代 x=2.7
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜
=(3x－2)+(2x－5)+(3－x)
=4x－4
10<=4x<=12
6<=4x－4<=8
6<=｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜<=8
(4) 3<=x
｜3x－2｜=3x－2，｜2x－5｜=2x－5，｜x－3｜=x－3 代 x=4
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜
=(3x－2)+(2x－5)+(x－3)
=6x－10
18<=6x
8<=6x－10
8<=｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜
綜合 (1)，(2)，(3)，(4)
｜3x－2｜+｜2x－5｜+｜x－3｜之最小值=6

設 Y = |3X-2| + |2X-5| + |X-3| , 則

當 X <= 2/3 時，
Y = -3X + 2 - 2X + 5 - X + 3 = -6X + 10
即 X<= 2/3 時，Y >= 6 . . . . . . . . . . . . . . (1)

當 2/3 <= X <= 5/2 時，
Y = 3X - 2 - 2X + 5 - X + 3 = 6
即 2/3 <= X<= 5/2 時，Y = 6 . . . . . . . . . (2)

當 5/2 <= X <= 3 時，
Y = 3X - 2 + 2X - 5 - X + 3 = 4X - 4
即 5/2 <= X<= 3 時，6 <= Y <= 8 . . . . . . (3)

當 X >= 3 時，
Y = 3X - 2 + 2X - 5 + X - 3 = 6X - 10
即 X >= 3 時，Y >= 8 . . . . . . . . . . . . . . . (4)

綜合(1), (2), (3) 及 (4), 得 Y 的最小值是 6,
此時相應的 X 是 2/3 <= X <= 5/2.

y(x)=|3X-2|+|2X-5|+|X-3|之最小值Ans:min落在中位數(1) 3/2<=x<=5/2y(x)=3x-2-2x+5-x+3=6(2) 5/2<=x<=3y(x)=3x-2+2x-5-x+3=4x-4y(5/2)=10-4=6y(3)=12-4=8(3) 合併獲得:min=y(3/2~5/2)=6........ans

試想像一條數線，在2/3有３個點，在５/2 有２個點，在３有一個點。

令x隨便擺某位置，然後把每個點都與x連起來。總距離就是所求。

會發現 : 在 x 為 5/2>=x>=2/3 有最小值.

2013-08-08 22:28:19 補充：
不用想得太複雜。 畫一條數線，也許能解決您的問題。 絕對值是看距離的。

2013-08-09 16:19:50 補充：
恩恩 中位數也ok!

總共k , k為奇數。 中位數 => (k+1)/2

總共k , k為偶數。 中位數 => k/2 , k/2 + 1 之間。

|3X-2| + |2X-5| + |X-3|
=|X - 2/3 |+|X - 2/3 |+|X - 2/3 | + |X-5/2|+ |X-5/2| + |X-3|
(2/3,2/3,2/3,5/2,5/2,3) 六個數的中位數
是 2/3 ~~ 5/2 在這個區間 有最小值

2013-08-08 23:47:56 補充：
你知道中位數嗎？
比如 1,2,5,8,9 ==>中位數=5

2,5,6,8 ,15,17 中位數 = (6+8)/2

|x-a | + |x-b| + |x-c|+..... 最小值 在 x= a,b,c.... 的中位數時

帶中間值5/2來算即是min=6