學習數學時對嚴謹的追求

小弟目前就讀大學物理系(大一升大二)

大學數學的學習讓我有點無所適從

主要是因為我想得很仔細，不曉得算不算鑽牛角尖的地步了?

一旦教授教了新東西，我通常沒辦法在課堂直接吸收，一定要自己花時間好好思考，對於每個式子或定理，我一定要先對他保持懷疑的態度，一定要親自仔細檢查每個推論的過程，不斷咀嚼到自己可以很自然的接受的地步

有時候書上的推論過程比較模糊或太匆促，我就會自己試著把其中每一小步推論鉅細靡遺的補上去，直到我有足夠的安全感

例如計算 lim(x→0) [(1+cx)^(1/3)-1]/x

一般書上的做法，可能會引入新變數t=(1+cx)^(1/3)，然後說x→0時t→1，然後直接得出lim(x→0) [(1+cx)^(1/3)-1]/x=lim(t→1) c(t-1)/(t^3-1)

我覺得這解釋得實在太模糊了，就會思考為何x→0時t→1，居然可以推論出lim(x→0) [(1+cx)^(1/3)-1]/x=lim(t→1) c(t-1)/(t^3-1)

最後這個心裡的疙瘩，我用極限的epsilon-delta定義，證明這兩個極限值是相等的，才獲得解決，我的思考如下

let lim(x→0) [(1+cx)^(1/3)-1]/x=L

this means that for all e>0, there is a d>0 such that

if 0<|x|<d, then |[(1+cx)^(1/3)-1]/x-L|<e

let t=(1+cx)^(1/3) (c is not 0)

for any d>0 we can find a d'=min(1,d|c|/7)>0 such that

if 0<|t-1|<d', then 0<|x|<d

so for each e>0, we can find a d>0 and a d'>0 such that

0<|t-1|<d' → 0<|x|<d → |[(1+cx)^(1/3)-1]/x-L|<e → |c(t-1)/(t^3-1)-L|<e

from the definition of limit, lim(t→1) c(t-1)/(t^3-1)=L

在學習的過程中我一定要像這樣，完整說明每一步的合理性到自己可以接受的地步，不然我會覺得有甚麼還沒搞懂或有遺漏

可是這樣實在是精神與體力的考驗，我學習的速度也因此很慢，要花比別人更多時間

雖然說主修是物理，但是數學畢竟是重要的工具，我覺得要把工具的運作原理徹底摸透，才能拿它來使用，所以我在數學上下的功夫甚至超過物理

而且我對數學本身同樣有興趣，對嚴格的邏輯有種難以言喻的追求

不過這樣耗神費時的學習後，在考試上的表現卻比大部分同學還差，我開始猶豫，對一些細節要自行深入探討呢，還是眼不見為淨呢，不然實在很難跟上學校進度，但是我又是極度沒有安全感的人，這樣會讓我有一知半解的感覺

或許我所追求的完美只是我自以為? 很多人根本不用想那麼多就能有不錯的理解，我這樣的學習方式是否讓我真有比那些人更深層的理解?

不曉得哪位大大在求學中有跟我類似的困擾嗎? 請給點建議

其實我發現我不只想要學會"應用"，我更想了解現代數學是如何架構之類的問題，照我這樣的個性是否需要修哪些數學系的課呢?