有關一元二次方程的有趣問題 (2)

Let α, β be two sequences satisfied
(i) α(n)+β(n)=-α(n-1)
(ii) α(n)β(n)=β(n-1)
(iii) α(-1):=a≠0 β(-1):=b≠0
(iv) β(n)≥α(n)
∀n=0, 1, 2, ...
if a^2-4b≥0 where a and b are real rumbers, do (α(n))^2-4β(n)≥0 ∀n=0, 1, 2, ...?

these two questions are equivalent, which is trivial.

Suppose ∀n, (α(n))^2-4β(n)≥0, then(α(n))^2≥4β(n), which implies
(a) α(n)≥4 or α(n)≤0 ∀n
and
(b) β(n)≥4 or β(n)≤0 ∀n by (iv)

Then it will lead three possible situations:
(1) α(n)≥4 and β(n)≥4
(2) α(n)≤0and β(n)≥4
(3) α(n)≤0and β(n)≤0 ∀n by (iv)

but the fact is,
(i) α(n)+β(n)=-α(n-1)
(ii) α(n)β(n)=β(n-1)

So ∀n
(1) α(n)≥4 and β(n)≥4
α(n)≥4≥0 and β(n)≥4≥0 ∀n
so α(n-1)≥4≥0
but α(n)+β(n)≥8
⇒α(n-1)≤-8 (→←)

(2) α(n)≤0 and β(n)≥4
α(n)≤0 and β(n)≥4≥0 ∀n
so β(n-1)≥4≥0
but α(n)β(n)≤0
⇒β(n-1)≤0 (→←)

(3) α(n)≤0 and β(n)≤0
α(n)≤0 and β(n)≤0 ∀n
but α(n)β(n)≥0
⇒β(n-1)≥0
and α(n)+β(n)≤0
⇒-α(n)≤0
⇒α(n)≥0
The only possible situation is
α(n)=0 and β(n)=0
but it implies a=0 and b=0 (→←)

So ∃n s.t. (α(n))^2-4β(n)<0 i.e. ∃n s.t. α(n), β(n)∈ℂ\ℝ

設這存在一組(a,b)使得ai和bi皆為實數.
則有bi>=ai ,(ai)²>=4bi
即ai²>=4ai
ai<=0 or ai>=4

檢查
''ak<=0 ,b>=0 的情況''
x²+(ak)x+bk

x²+[a(k-1)]x+b(k-1)
=x²-(ak+bk)+(ak)(bk)

(ak)(bk)>=-(ak+bk) [b(k-1)>a(k-1)]
(ak)(bk)+ak+bk>=0
[(ak)+1)][(bk)+1)]>=1
(ak)>=-(bk)/[(bk)+1)]
0>=(ak)>=-(bk)/[(bk)+1)]>=-1
(ak)²>=4(bk)
{-(bk)/[(bk)+1)]} ²>(ak)²>=4(bk) [For -1<=ak<=0]
{-(bk)/[(bk)+1)]} ²-4(bk)>=0
(bk) ²/[(bk)+1)] ²-4(bk)>=0
(bk) ²-4(bk) [(bk)+1)] ²>=0
(bk) -4[(bk)+1)] ²>=0
4(bk) ²+7(bk)+4<=0

4(bk) ²+7(bk)+4 永遠大過0
7²-4(4)²=-15<0

所以,一但出現ai<=0 ,bi>=0,就被迫中止
而ai<=0 ,bi>=0 是一定會出現在其中一點
設(ak)>0,(bk)>0
a(k+1)<0,b(k+1)<0
a(k+2)<0, b(k+2)>0

嘻嘻～　強勢回歸～

你每次都兩邊發同一個帖這樣好嗎？
（因為其實大家都會兩邊走的～）

BTW, 你貼圖的時候可以 click 檢視原始碼，把圖片的width由 420 設成 大一點的數，那麼會清楚一點。

Cheers!

2013-08-06 10:23:41 補充：
另外，方程應配上「=0」。

Thanks for your sharing! :)