三題數學題

1.設f(x)為三次多項式
(1)已知f(－1)=f(－2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求f(x)=?
Sol
Set f(x)=a(x+1)(x+2)(x－1)+b(x+1)(x+2)+c(x+1)
f(-2)=c(-1)=0
c=0
f(x)=a(x+1)(x+2)(x－1)+b(x+1)(x+2)
f(1)=b(2)(3)=6
b=1
f(x)=a(x+1)(x+2)(x－1)+x^2+3x+2
f(2)=a(3)(4)(1)+4+6+2=48
12a=36
a=3
f(x)=3(x^3+2x^2－x－2)+x^2+3x+2=3x^3+7x^2－4

(2)已知f(－1)=f(－2)=f(－3)=5．f(－4)=－7，求f(x)=?
Sol
f(x)=a(x+1)(x+2)(x+3)+5
f(－4)=a(－3)(－2)(－1)+5=－7
a=2
f(x)=2(x^3+6x^2+11x+6)+5=2x^3+12x^2+22x+17

2.多項式f(x)除以x－1之餘式=2，除以x^2+x+1之餘式為2x+6，則f(x)除以
x^3－1之餘式為?
Sol
f(x)=q(x)(x^3-1)+a(x+2+x+1)+2x+6
f(1)=a(1+1+1)+2+6=2
a=－2
餘式=－2(x^2+x+1)+2x+6=－2x^2+4

f(x)/(x-1)餘式=2 , /(x^2+x+1)餘式2x+6 則f(x)除以x^3-1之餘式為?

f(x)=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+x+1)+2x+6

3a+8 = 2 , a=-2

So the answer is -2(x^2+x+1)+2x+6

僅供參考。

2013-08-06 10:52:41 補充：
f(x)= a(x+1)(x+2)(x+3)+5

-6a+5 = -7 , a=2

f(x) = 2(x+1)(x+2)(x+3)+5