F.4 數學問題 (一元二次方程)

1. 設a和b為兩個相異的實數。若a^2+3a+1=0和 b^2+3b+1=0，求
(1/a)+(1/b)的值
A. －3，B. －1/3，C.1/3，D. 3
Sol
a<>b
a，b為 x^2+3x+1=0 之兩根
a+b=－3，ab=1
1/a+1/b=(a+b)/(ab)=－3/1=－3
(A)

2. 若a+1和b+1是二次方程x^2+4x－7=0的根，建立一個以x為變數，
並以a和b為根的二次方程
A. x^2+ 6x－14 = 0，B.x^2+6x－2=0，C.x^2－6x－2=0，D.x^2－6x－14=0
Sol
y=x－1
x=y+1
x^2+4x－7=0
(y+1)^2+4(y+1)－7=0
y^2+6y－2=0
y改為x
x^2+6x－2=0
(B)

3. 若 a ≠ b，a^2=4a+3 和b^2=4b+3，則(a+1)(b+1) =
A. －6，B. 0，C. 2，D.8
Sol
a<>b
a，b為x^2－4x－3=0之兩根
a+b=4，ab=－3
(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=－3+4+1=2
(C)

4. 求k的取值範圍使二次方程x^2+2x－k=2有兩個相異實根
A. k＞－3，B. k≧－3，C.k＞－1，D. k≧－1
Sol
D=2^2－4*1*(－k－2)>0
4+4k+8>0
4k>－12
k>－3
(A)

5. y = x^2－10x+k 的圖像與 x 軸相交於 P(a，0) 和Q(a+4，0)兩點。
求a和k的值
Sol
y=x^2－10x+k
=(x－5)^2+(k－25)
(a+a+4)/2=a+2
a+2=5
a=3
過P(a，0)
0=a^2－10a+k=9－30+k
k=21

6. 若a+2和b+2是二次方程2x^2－x－12=0的根，建立一個以x為變數，
並以a和b為根的二次方程
Sol
y=x－2
x=y+2
2x^2－x－12=0
2(y+2)^2－(y+2)－12=0
2(y^2+4y+4)-y－14=0
2y^2+7y－6=0
2x^2+7x－6=0
or
(a+2)+(b+2)=1/2，(a+2)(b+2)=－6
a+b=－7/2
ab+2(a+b)+4=－6
ab－7+4=－6
ab=－3
So
(x－a)(x－b)=0
x^2－(a+b)x+ab=0
x^2+7x/2－3=0
2x^2+7x－6=0