微積分的問題-極限與積分 (急)

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麻煩請大大列出詳細的計算過程，感積不盡 > 求下列極限:(一) lim(x->1)[1/ln(x)-x/(x-1)]=[(x-1)-x*ln(x)]'/[(x-1)ln(x)]' ;;通分=[1-ln(x)-x/x]/[ln(x)+(x-1)/x] ;;羅必達定理=-[x*ln(x)]'/[x*ln(x)+x-1]'=[-ln(x)-x/x]/[ln(x)+x/x-1] ;;羅必達定理=-[ln(x)+1]'/[ln(x)]'=-(1/x)/(1/x) ;;羅必達定理=-1
(二) lim(x->∞)[n*3^(1/n)-1]=n*3^0-1=n-1=∞
求下列積分:(一) ∫(0,√3){x^2*[tan^(-1)x]}dx=(1/3)*∫[tan^(-1)x]}d(x^3)=(1/3)*{x^3*atan(x)-∫x^3*dx/(1+x^2)} ;;部份積分=(1/3)*{x^3*atan(x)-0.5*∫x^2*d(x^2)/(1+x^2)}=(1/3)*x^3*atan(x)-(1/6)*∫(1+x^2-1)d(1+x^2)/(1+x^2)=(1/3)*x^3*atan(x)-(1/6)*∫(u+1)du/u ;;u=1+x^2=(1/3)*x^3*atan(x)-(1/6)*{∫du-∫du/u}=(1/3)*x^3*atan(x)-(1/6)*{u-ln(u)}+c=(1/3)*x^3*atan(x)-(1/6)*[(1+x^2)-ln(1+x^2)]=(1/3)*3√3*atan(√3)-(1/6)*[(1+3)-ln(1+3)]+(1/6)*[(1-ln(1)]=(1/3)*3√3*pi/3-(1/6)*[4-ln(4)+1]=√3*pi/3-[5-2*ln(2)]/6

(二)w=∫∫D (3x+4y^2)dA， where D={(x,y): y>=0，1<=x^2+y^2<=4} Ans:D=y軸之上的環形面積,x=x1~x2=√(1-y^2)~√(4-y^2)w=∫(y=1~4)∫(x=x1~x2)(3x+4y^2)dx*dy=∫(3x^2/2+4x*y^2)dy=∫{3(4-y^2)/2+4y^2*√(4-y^2)-3(1-y^2)/2-4y^2*√(4-y^2)}dy=∫{4.5+4y^2*√(4-y^2)-4y^2*√(1-y^2)}dy=∫{4.5+w1-w2}dywk=∫4y^2*√(k^2-y^2)dy ;;k=1,2=∫4k^2*sin^2Q*kcosQdQ ;;y=k*sinQ => dy=k*cosQ*dQ=∫4k^3*sin^2Q*d(sinQ)=(4/3)k^3*sin^3Q=(4/3)k^3*y^3/k^3=(4y^3)/3 ;;與k無關=> w=4.5y+(w1-w2)=4.5*(4-1)+0=4.5*3=13.5.....ans