F.4 數學問題 (續多項式)

［Ｑ１］
Ｐ（ｘ）　＝　Ｑ（ｘ）（４ｘ－１）　＋　Ｒ
所以　Ｐ（ｘ）　＝　－Ｑ（ｘ）（１－４ｘ）　＋　Ｒ
餘數同樣為Ｒ。
即（Ａ）。

［Ｑ２］
已知Ｑ（－１）＝０。
設Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ－１），那麼Ｐ（０）＝Ｑ（－１）＝０。
所以Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ－１）的其中一個因式是ｘ。
即（Ｂ）

［Ｑ３］
已知 f(-2)=(1/2)=0。
2(-8) + a(4) + b(-2) + 4 = 0
2(1/8) + a(1/4) + b(1/2) + 4 = 0

第一條式變： 4a-2b-12=0 即 2a-b=6
第二條式變： 2+2a+4b+32=0 即 a+2b=-17

4a-2b=12 再加 a+2b=-17
5a = -5, then a = -1 and b = -8
即（Ｄ）。

［Ｑ４］
已知 p(1) = 1 and p(-1) = 3。
考慮 p(x) = (x-1)(x+1)Q(x) + Ax + B 。
［設這式是因為除(x^2-1)=(x+1)(x-1)是二次，所以餘式最高為一次。］
p(1) = 1 = 0 + A + B
p(-1) = 3 = 0 + -A + B

所以，A = -1 and B = 2，餘式是-x+2。
即（Ｂ）。

［Ｑ５］
設 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + kx + 6。
已知 f(-2)=A and f(2)=B where A=B-28。

(a)　那麼，
2(-8) - 5(4) + k(-2) + 6 = A = B-28
2(8) - 5(4) + k(2) + 6 = B

兩式相加： -40 + 12 = 2B - 28
B = 0 and k = -1

(b)
f(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6。
所求餘數為： f(3/2) = 2(27/8) - 5(9/4) - (3/2) + 6 = 0

(c)
由 (b) 可知，　(2x-3) 是 f(x) 的一個因式。
長除可知： f(x)=(2x-3)(x^2-x-2)
所以 f(x)=(2x-3)(x-2)(x+1)

［Ｑ６］
(a) 設 f(x)=x^2016-1, 求f(1)=1-1=0。

(b)　用 (a) 的結果, 代 x=25, 即是說25^2016-1除24會餘0。
那就是說25^2016除24會餘1。
所以25^2016小時後，時間會是19:00。

1. 答案A解:寫 P(x)=(4x-1)*Q(x)+R, 其中Q(x) 為商式將 P(x)=(4x-1)*Q(x)+R 除以 1-4x 時,即是將 (4x-1)*Q(x)+R 除以 -(4x-1),可得出商式為 -Q(x), 餘數為 R 2. 答案B解:根據餘式定理,得知 Q(-1)=0觀察 Q(0-1)=Q(-1)=0,根據因式定理,(x-0),即 x, 為 Q(x-1)的因式 3. 答案D解:根據餘式定理,得知 f(-2)=0 和 f(1/2)=0得出以下聯立方程,2*(-2)^3+a*(-2)^2+b*(-2)+4=0………….式一2*(1/2)^3+a*(1/2)^2+b*(1/2)+4=0………….式二從式一, 4a-2b-12=0, 即 2a-b-6=0…………….式三從式二, (1/4)*a+(1/2)*b+4.25=0, 即 a+2b+17=0………式四式三乘以2 +式四,可得(2a-b-6)*2+(a+2b+17)=04a-2b-12+a+2b+17=05a+5=0a=-1代 a=-1 入式四,-1+2b+17=02b+16=0b=-8 4. 答案B解:設多項式 p(x) 除以 (x^2)-1 時所得的餘式為 Ax+B,其中A和B為常數即是 p(x)=[(x^2)-1]*Q(x)+Ax+B, 其中Q(x) 為一商式, 根據餘式定理,得知 p(1)=1, p(-1)=3所以,得出以下聯立方程p(1)=[(1^2)-1]*Q(1)+A(1)+B=1…………….式一p(-1)=[((-1)^2)-1]*Q(1)+A(-1)+B=3…………..式二即是, A+B=1 和 –A+B=3,可計算出 A=-1, B=2餘式即是 –x+2 5.(a)答案 k=-1解:根據餘式定理,得出2*(-2)^3-5*(-2)^2+k*(-2)+6=A, 即A=-2k-302*(2)^3-5*(2)^2+k*(2)+6=B, 即B=2k+2因為A較B小28,所以B-A=28,即 (2k+2)-(-2k-30)=282k+2+2k+30=284k=-4k=-1 5.(b)答案=0解:[代x=3/2入多項式]根據餘式定理,餘數=2*(3/2)^3-5*(3/2)^2-1*(3/2)+6=0 5.(c)答案 2x^3-5x^2-x+6=(2x-3)*(x-2)*(x+1)解:根據因式定理, 2x-3是該多項式的因式利用長除法,可得出2x^3-5x^2-x+6=(2x-3)*(x^2-x-2)[因式分解 x^2-x-2]=(2x-3)*(x-2)*(x+1) 6.(a)答案=0解:根據餘式定理,所求餘數為 (1^2016)-1=0 6.(b)答案=19:00解:將25^2016除以24,計算出過了多少天多少小時運用 (a)部結果, [注:代x為25]25^2016 -1 除以 24 的餘數為 0 [注:即過了 25^2016-1 小時後,也是18:00]而25^2016 是比 25^2016-1多一小時即是,所求的時間為18:00+1:00=19:00