分離變數和正合關係

👨🏻‍🏫 學術台數學

OBJ

2013-08-01 4:36 am

請問如果一個常微分方程可以分離進行積分

是否就表示他一定正合

因為我目前演練的題目發現可以分離出來的

都剛好都是正合

請問是真的有這關係還是只是我運氣好而已

更新1:

一件表示的我知道但不是我要問的我問的是當一個常微分是可完全分離那是不是有某種證明使得可完全分離的式子就一定是正和目前已證出不可分離是不能表示常微分式是否正和但反過來還證不出來所以才上網請教

更新2:

不能給證明沒關係我只想請問這種關係是否存在

更新3:

to 老怪物大大感謝~ 另想請教證明式中 ∂M/∂y = ∂N/∂x這段是否等於零??

回答 (3)

麻辣

2013-08-01 3:09 pm

✔ 最佳答案

不必理會∂M/∂y=∂N/∂x直接使用微分技巧茲舉一例如下所示:0=2sin(y²)*dx+xy*cos(y²)*dy=2sin(y²)*dx+x*cos(y²)*d(y^2)/2=2sin(y²)dx+xd[sin(y^2)]/2=4sin(y²)dx+xd[sin(y^2)]=4u*dx+x*du ;;u=sin(y^2)=4u*x^3*dx+x^4*du ;;同時乘x^3=u*d(x^4)+x^4*du=d(u*x^4)c=u*x^4=x^4*sin(y^2)

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老怪物

2013-08-01 6:57 am

可以變數分離, 也就是可以寫成
f(x)dx = g(y)dy
即 f(x)dx - g(y)dy = 0
則 M(x,y) = f(x), N(x,y) = -g(y), 故
∂M/∂y = ∂N/∂x
符合 "正合" 條件.

所以, 可分離變數則可化為正合方程.

2013-08-04 21:13:26 補充：
∂M/∂y = ∂N/∂x這段

是否等於零??

是啊! 不是很明顯?
∂M/∂y = 0 = ∂N/∂x

2013-08-04 21:15:32 補充：
"目前已證出不可分離是不能表示常微分式是否正和"

這話很怪!

一樓的例子給的就是正合, 但不可分離.

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游於數

2013-08-01 5:02 am

判斷是否為正合方程

假設有一方程 (2xy^3+2)dx+(3x^2y^2+8e^4y)dy=0

6xy^2=6xy^2(前面對y做偏微,後面對x做偏微,如果相等,就代表此方程為正合方程)

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收錄日期: 2021-05-04 01:53:02
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130731000015KK04549

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