畢氏學派如何興衰

畢達哥拉斯學派的興起
從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘的畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，他們認為，「萬物皆數」(指整數)，數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界，並認為宇宙間各種關係都可以用整數或整數之比來表達。數學的知識由純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。他們以發現勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名於世，又由此導致不可通約量的發現。

有理數的定義
據亞里士多德的說明，畢達哥拉斯派的宇宙起源論的主要成分是數和十個原則。他們認為“一”是數之始，其餘的數都是“一”的集合。數有奇偶之分，而基數與偶數又構成宇宙最基本的矛盾。宇宙是由十組矛盾構成的，分別是：有限與無限，奇數 ​​與偶數，一與多，左與右，男與女，靜與動，直與曲，光明與黑暗，善與惡，方與圓。宇宙的產生是從“一”開始的，有限首先產出，然後是有限開始滲入無限並受到有限的限制，於是萬物遂從而形成。這種說明依然是極其模糊的，十分令人費解，我們只能說這是一種一元數說。

該學派最大的特點即:“萬物皆數”（僅指整數和分數）。 這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯繫起來。 他們找到用三個正整數表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從1起連續的奇數和必為平方數等等，這既是算術問題，又和幾何有關，他們還發現五種正多面體。

畢氏學派很注意數與形的結合，他們發現了“形數”的奧秘，“形數”是畢氏學派“數是萬物之本”的重要組成部分，並用它去說明“一切形體都是由數派生出來的”這一哲理。

有理數有一種簡單的幾何解釋：在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。於是，每一個有理數都對應著直線上的一個點。

畢達哥拉斯學派的危機
1. 無理數的發現
古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：邊長為1的正方形的對角線長度不能用整數或分數來表達。於是畢達哥拉斯學派對這個新發現的「怪數」保密，可希帕索斯則無意中泄露了這個發現，於是被畢達哥拉斯學派的人扔進大海淹死了（希帕索斯被淹死是多個傳說中一個，另還有被眾神(畢達哥拉斯學派信仰的數字之神)判處淹死，開除學派等說法）。

直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數學事實的發現使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且衝擊著當時希臘人持有的「一切量都可以用有理數表示」的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發現的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論。 不過存在另外一種說法稱，據說, 正五邊形的邊與對角線之比
圖片參考：https://upload.wikimedia.org/math/a/2/5/a25da2d1d93235a171df06cf6d96b92e.png
是最先被發現的無理數。

2.芝諾悖論
古希臘著名哲學家芝諾曾提出四條著名的悖論，也被如今的數學史界認定為引發第一次數學危機的重要誘因之一。

第一，「二分法」。
運動著的東西在到達目的地之前須先完成行程的一半，而在完成行程的一半後，還須完成行程的一半的一半……如此分割，乃至無窮，因而它與目的地之間的距離是無限的，永遠也達不到目的地。

第二，「阿基里斯永遠追不上烏龜」。
阿基里斯是希臘跑得最快的英雄，而烏龜則爬得最慢。但是芝諾卻證明，在賽跑中最快的永遠趕不上最慢的，因為追趕者與被追趕者同時開始運動，而追趕者必須首先到達被追趕者起步的那一點，如此類推，他們之間存在著無限的距離，所以被追趕者必定永遠領先。

第三，「飛矢不動」。
任何物體都要佔有一定的空間，離開自己的空間就意味著失去了它的存在。飛矢通過一段路程的時間可被分成無數瞬間，在每一瞬間，飛矢都佔據著一個與自己大小相同的空間，由於飛矢始終在自己的空間之中，因而它是靜止不動的。

第四，「運動場」。
有兩排物體，大小相同，數目相等，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點，當它們以相同的速度作方向相反的運動時，就會在時間上出現矛盾。芝諾認為這可以證明一半的時間等於一倍的時間。 以上四條悖論從根本上挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。

以上四條悖論從根本上挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式 ，而後來被亞里士多德等人成功解釋完畢。

無理數
圖片參考：https://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png
的發現，是數學史上的一次重要事件，也稱為第一次數學危機，自根號二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標誌。這次危機的出現衝擊了一直以來在西方數學界佔據主導地位的畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯生於薩摩斯（今希臘東部小島），他是希臘著名哲學家、數學家，天文學家，也是從事政治、宗教活動與科學研究的畢達哥拉斯教派的首領。
年輕時畢達哥拉斯像其他富家子弟的那樣曾到巴比倫和埃及去遊學，因而受到了東方文明的影響與熏陶。回國之後畢達哥拉斯創建了政治、宗教、數學合一的秘密學術團體，就是畢達哥拉斯學派。這個學派有一些看起來與眾不同的很奇怪的教規，他們的活動都是秘密的，並且在教派中籠罩著一種不可思議的神秘氣氛。
據說該學派還有這樣一些規定，每個新入學的學生都得宣誓嚴守秘密，並終身只加入這一學派。還有要將一切發明都歸之於學派的領袖，並且要嚴格保密，不能告訴別人，以致後人在研究這個學派的成就的時候，弄不清楚一些知識究竟是誰在何時發明的。由於該教派教規是把政治、宗教和數學研究活動交織在一起的，後人很難理解為什麼數學研究的活動和成果變成了秘密的工作。
畢達哥拉斯學派認為數最崇高，最神秘，他們所講的數是指整數。“萬物皆數”，就是說宇宙間各種關係都可以用整數或整數之比來表達。
畢達哥拉斯哲學是以這樣一個假定為基礎的，即整數是人和物質的各種各樣的性質之起因。這就導致對於數的性質的闡述與研究，並且同算術（作為數的理論）、幾何學、音樂、球面學（天文學）一起，構成畢達哥拉斯研究計劃的基本課程，稱為四藝；再加上文法、邏輯和修辭學三科，是中世紀受教育的人必修的七門課。
畢達哥拉斯學派明顯地傾向於貴族政治，並且在社會上的影響越來越大，以致南義大利的民主力量推毀了該學校的建築並迫使該團體解散。據說，畢達哥拉斯逃到了梅塔龐通並死在那裏，也許是在75歲到80歲的高齡時被殺的。該團體雖然形式上解散了，但實際上還繼續存在至少二百年之久。