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方程式 f(x) = 0 的實數解就是 y=f(x) 曲線通過x 軸時的座標
位置, 如 x^2-4 = 0, y=x^2-4 = (x+4)(x-4) 通過 x 軸 x=-4 與
x=4 , 所以有兩個實數解.
方程式 f(x)=g(x) 一則可以看成是 F(x)=f(x)-g(x)=0 如上一段
的解釋, 另者也可以看成兩曲線 y=f(x) 與 y=g(x) 的交點的
x座標. 如 x^2 = 4 一是相當於 x^2-4 = 0, 另者也可以看成是
曲線 y=x^2 與水平線 y=4 的交點的 x 座標. 這兩曲線交點
是(2,4)與(-2,4), 所以實數解就是 x=2 或 -2.
2013-07-23 01:24:59 補充：
如 x = log_a(x) 是否有解, 用微積分可以證明 a 不大於 e^{e^{-1}},
a≠1, 則有實數解.
不用微積分, 利用勘根定理可以得證 0 < a < 1 時必有實數解.
另外, x = log_a(x) 有無實數解, 與 a^t = t 有無實數解是等價的.
當 a 不小於 2 時, a^t = t 若有解, 其解只可能在 0 與 1 之間.
換言之, 若能證明在 0 與 1 之間 a^t = t 無解, 也就證明了實
數解不存在.
2013-07-23 12:34:29 補充：
一 設f(x) = log5X 請問下列正確在哪錯在哪?
1. 若≧３ 則方程式x=logaX不可能有X的實數解
若 a≧3, x = log_a(x) 不可能有實數解.令 x = a^t, x = log_a(x) 相當於 a^t = t.
因此, x = log_a(x) 有無實數解與 a^t = t 有無實數解等價. 顯然, a^t > t 對任意 t≦0 都成立.y = t 的斜率是 1;
y = a^t 曲線上兩點 (t1, a^{t1}), (t2,a^{t2}) 的斜率是
(a^{t2}-a^{t1})/(t2-t1) = a^{t1}(a^{t2-t1}-1)/(t2-t1).不證明之定理: 若 a≧3, r>0, 則 (a^r-1)/(r-1)>1.因此, y=a^t 在 t≧0 時增長得比 y=t 快; 再加上 t=0 時
a^0 =1 > 0, 因此恆有 a^t > t.所以 a^t = t 無實數解, 當 a≧3.
2 若a>0 且a≠１ 則方程式a^x (x為次方)=logaX必有X的實數解
y = a^x 與 y = log_a(x) 是互為反函數的, 即:
a^{log_a(x)} = x, 對所有 x>0; 且
log_a(a^x) = x, 對所有(實數)x.因此, 兩函數圖形對稱於直線 y=x. 這表示: 若 a^x = log_a(x),
則 a^x = x = log_a(x).由 1. 已知 a≧3 時 x = log_a(x) 無實數解, 因此 a^x = log_a(x)
也無實數解.
3.若 y=f(x)和直線L交於(2，log5 2(5為底))和(10，log5 10(5為底))
則L斜率為1/8
這只是計算斜率而已:
(log_5(10)-log_5(2))/(10-2) = log_5(10/2)/8 = 1/8.
二 方程式3^X+3^(-X)=根號三的X有實數解(對錯)
看不懂... "根號三的X" 是什麼?
是 √(3^x), 還是 x 的3次方根?
三已知X>0 且X≠１ 則｜log0.5 x｜+｜logx 2｜=｜log0.5 x+logx 2｜
沒有實數解 (0.5為底數) (x為底數)
利用對數換底公式, 把對數都改成以 10 為底. 則原式成為:
|log(x)/log(0.5)|+|log(2)/log(x)|
= |log(x)/log(0.5)+log(2)/log(x)|
絕對值等式 |a|+|b| = |a+b| 成立的充分必要條件是
a, b 有一為 0 或 a, b 同正負.
由於 log(0.5)<0<log(2),
因此 log(x)/log(0.5) 與 log(2)/log(x) 正負相反.
這表示: 對所有 x>0, x≠1, 該等式不成立.
也就是說, 原方程式沒有實數解.
四 log2 X=3^ (-X) 沒有實數解
(以2為底數)
y = log_2(x), x>0, 是上升(遞增)函數, 也就是說它的圖形
是上升的曲線.而 y = 3^{-x} 是下降(遞減) 曲線.log_2(1) = 0 < 3^{-0} = 1;
而 x 很大時, log_2(x) 也大, 但 3^{-x} 變成接近 0,
也就是說: x 大時 log_2(x) > 3^{-x}.由勘根定理, log_2(x) = 3^{-x} 必有實數解.
(請恕我不能畫圖. 以上如有哪裡有問題再提出吧!)
2013-07-26 11:39:45 補充：
二 方程式3^x+3^(-x)=√3
在實數系中, 3^x+3^{-x} = (3^{x/2}-3^{-x/2})^2 +2 至少為 2;
而 √3 小於 2.
因此, 3^x + 3^{-x} = √3 無實數解.
2013-07-26 11:42:12 補充：
"不證明之定理: 若 a≧3, r>0, 則 (a^r-1)/(r-1)>1."
不證明, 因為我還沒想到微積分之外的證明.
而上面的回答都避免用微積分...若用微積分, 問題好解決多了,
如 "意見" 中給的答案.
2013-07-26 11:46:26 補充：
y = t 的斜率是 1;
而利用前述 "不證明之定理" 知道 y = a^t 曲線上任兩點
間的斜率大於 1.
這說明了: 在 t≧0 時, 曲線 y = a^t 增長得比 y=t 快.
起點 (t=0 時) 高而又增長得快, 就好像跑得快者在比賽
開始時已經在比較前面, 豈不一路領先?
因此恆有 a^t > t.
