積分的一些問題(變數代換和均值定理)

1.∫sin(x)cos(x)√(sin(x)+1) dx令 u = √(sin(x)+1)
則 sin(x) = u^2-1,
　 cos(x) dx = 2u du
所以
　 ∫sin(x)cos(x)√(sin(x)+1) dx
　　 = ∫(u^2-1)(u)(2u)du
　　 = ∫2(u^4-u^2) du
　　 = (2/5)u^5 - (2/3)u^3 + C
　　 = (2/5)(sin(x)+1)^{5/2}-(2/3)(sin(x)+1)^{3/2}+C
2. f(x) = x^3-x^2-x+1 on [-1,2]
均值定理說: 存在 c 在 -1 與 2 之間, 使
f'(c) = (f(2)-f(-1))/[2-(-1)]
　　　= [(8-4-2+1)-(-1-1+1+1)]/3
　　　= 1又: f'(x) = 3x^2-2x-1
所以 1 = 3c^2-2c-1
解之, 得 c = (-1±√7)/3.
c 介於 -1 與 2 之間, 故 c = (-1+√7)/3.

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00299181/o/20130716023323.jpg

希望能幫助到你 :)

2013-07-16 02:41:55 補充：
圖片網址:
http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00299181/o/20130716023323.jpg