X^3+Y^3+Z^3=3XYZ

x^3+y^3+z^3=3xyz為什麼會x=y=z
Sol
x^3+y^3+z^3=3xyz
x^3+y^3+z^3－3xyz=0
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2－xy－yz－xz)=0
x+y+z=0 or x^2+y^2+z^2－xy－yz－xz=0
考慮 x^2+y^2+z^2－xy－yz－xz=0
2x^2+2y^2+2z^2－2xy－2yz－2xz=0
(x^2－2xy+y^2)+(y^2－2yz+z^2)+(x^2－2xz+z^2)=0
(x－y)^2+(y－z)^2+(x－z)^2=0
x=y=z
再考慮 x+y+z=0時
x=1，y=2，z=－3
x^3+y^3+z^3－3xyz
=1^3+2^3+(－3)^3－3*1*2*(－3)
=0
So
x^3+y^3+z^3=3xyz無法導出x=y=z
但
x^3+y^3+z^3=3xyz，x+y+z<>0=>x=y=z

X^3+Y^3+Z^3=3XYZ
因為3XYZ=3*X+3*Y+3*Z
所以X=Y=Z

月下大師厲害能如此分解

一般都是背來用的

X^3+Y^3+Z^3=3XYZ
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=0
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)=0
(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=0
(1)
x+y+z = 0
(2)
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0
==>x=y=z

2013-07-16 17:55:24 補充：
這是公式
但要知道如何因式分解
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy)
=(x+y+z)((x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

為什麼??
假如X^3=2XYZ
Y^3=1/2XYZ??

2013-07-16 14:32:14 補充：
我懂了><
可是從X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=0分解成
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
有公式嗎...還是試出來的??

應該還要加一個條件 X+Y+Z 不等於0,才會有 X=Y=Z 的結果.

2013-07-15 23:31:32 補充：
"假如X^3=2XYZ
Y^3=1/2XYZ??"

這是什麼意思?我不瞭.

如果沒有加上 X+Y+Z 不等於0 的條件,
就不會得到 X=Y=Z 的結果.
舉個例 X=1, Y=2, Z= -3