數學 : 平方數求證

設(x^2+y^2+x)/xy = n, n 是一正整數
掉項後可得 (x+y)^2 = (n+2)xy - x = x ( (n+2)y - 1)

*假設 x 不是平方數, 那麼必有一個數m>1 使得 m 同時整除 x 和 (n+2)y - 1

所以 m 也整除 (x+y)^2, 也整除 x+y
m 整除 x 又整除 x+y 也必整除 y
但因為 m 整除 (n+2)y - 1 所以 m 整除 1, 矛盾

2013-07-19 16:48:41 補充：
忘記寫 設m 為質數

002 Ting Fung :

可否解釋為何「m 整除 (x+y)^2, 也整除 x+y」 ?

以上ge意見好讚`﹗

當 x=4;y=10; (x^2 +y^2 +x)/xy= 3
y^2 = kx => k = 25
y^2 不等於 k; y^2 也不等於 x???

2013-07-13 23:31:59 補充：
可以這樣表達：若 gcd⁡(k,x)=d
則k=da^2;x=db^2=>y=abd
那麽 x+k+1=zy
1=zabd-da^2-db^2=d(zab-a^2-b^2 )
=>d=1=>x=b^2

2013-07-13 23:48:10 補充：
從頭再整理一下：

(x^2+y^2+x)/xy=n
x^2+y^2+x=nxy
y^2=(ny-x-1)x=kx
If gcd⁡(k,x)=d then k=da^2;x=db^2=>y=abd
k=nabd-db^2-1=da^2
1=d(nab-b^2-a^2 )=>d=1
So x=b^2

2013-07-14 10:43:49 補充：
都是來自你的方法 ！

當X是雙數,Y一定都是雙數
(x² + y² + x ) / (xy)
由於(x²+ x )可被 x 除盡
y²也一定要被 x 除盡
y²=kx ,k為正整數
sub y²=kx to (x² + y² + x ) / (xy)
(x² + y² + x ) / (xy) =( x + k +1)/y=Z, Z為正整數
y²=kx
若k或x都不等於1
(x +k)與y就不互質,contradiction,因為Z為正整數
y²=k(x=1) or y²=x
所以x 必為平方數.

2013-07-13 21:47:58 補充：
第一句是打多了的=,=
跟證明無關

2013-07-13 22:56:31 補充：
若k或x都不等於1或平方數=.= 打小左

2013-07-13 23:14:24 補充：
若k或x沒有一個等於1,又或是沒有一個是平方數
對不起T_T...
加上這個就完整了
不然的話
(x +k)與y就不互質這話也不能成立
當x和k其中一個是平方數,另一都一定是

2013-07-14 01:07:19 補充：
*.*我見到了T^T
咁樣去證明
k,x互質
於是一定是平方數
強! 抄抵,下次用XDDD

2013-07-19 20:58:16 補充：
好野
我的是y^2
比人一改
變左(x+y)^2
就好似係第二個答案咁

2013-07-19 21:00:23 補充：
仲可以答埋出黎
我覺得勁人太多
我只是班門弄斧

2013-07-19 21:37:00 補充：
對不起T_T
我太衝動了
歡迎