線性代數證明

invertible=non-singular=非奇異i.e.|A|=\=0, |B|=\=0由A=I*B^(-1)但是B^(-1)=[Cofator(B)]^t/|B|Cofator=餘因式^t=倒置矩陣既然上面諸式存在.當然|B|=\=0同樣: |A|=\=0

It suffices to show that if Bx = 0 implies x = 0 (a zero column matrix).

(This is an equivalent condition of "B is invertible")

Suppose that Bx = 0. Then A(Bx) = (AB)x = Ix = x = 0, that is, x = 0.

In other words, B is invertible. Hence A = (AB) B^{-1} is also inverible.

This completes the proof.

題意是要證明: 若 A, B 同為 n 階方陣, 則 AB=I implies BA=I.


線性代數的證明, 如果是課程學習中, 比較單純, 就是依課程中
進行的順序; 若不是課程學習中, 而是一般考試, 則需揣測出題
者是設定在證明這結果之前有什麼結果是已知的.

例如若在此之前有行列式單元, 那麼很簡單, AB=I implies
det(A)det(B)=1, 因此 det(A)≠0≠det(B).

2013-07-12 11:53:51 補充：
若無行列式相關定理可用, 也可考慮 rank...
rank(AB)≦rank(A)≦n, 因此 AB=I implies rank(A)=n, 從而 A 可
逆 (這又是一個定理). 所以, B = (A^{-1}A)B =A^{-1}(AB) = A^{-1},
因此 BA = A^{-1}A = I. 於是 A, B 互為 inverse.

2013-07-12 11:58:44 補充：
又, 由 AB=I 推出 A 的 columns 構成 independent set;
從而 implies A 的 rows 也構成 independent set.
因此, 存在 C 使 CA=I.
於是, C = C(AB) = (CA)B = IB = B, 所以 AB=BA=I,
所以 A, B 互為 inverse.

2013-07-12 12:01:34 補充：
如果是考試, 不建議用行列式, 除非你想不出其他證明方式.

如果是課程練習或測驗, 如前面說的, 根據課程進度拿前面
已有的結果來證明即可.

這不是定義嗎?

又或者,可用什麼定理? det(A) 不等 0 是等價於 A 是 invertible 的。有這定理,也是一行的證明。