微積分極限問題

1. lim(x→0+) (│x│-x)/(│x│-x^3)
=lim(x→0+) (x-x)/(x-x^3)=0

lim(x→0-) (│x│-x)/(│x│-x^3)
=lim(x→0-) (-x-x)/(-x-x^3)
=lim(x→0-) 2/(1+x^2)=2

左極限 ≠ 右極限，故極限不存在。

2. lim(n→∞)Σ(i=1,n) 1/(n+i)
= lim(n→∞) [1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + .................
=lim(n→∞) 1/(n+1) + lim(n→∞) 1/(n+2) + lim(n→∞) 1/(n+3) + ........
= 0 + 0 + 0 + 0 + ....................
= 0



2013-07-11 20:35:47 補充：
2. 考慮不周，應視為黎曼和，修正如下

lim(n→∞)Σ(i=1,n) 1/(n+i)
=lim(n→∞) [1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ...+1/(n+n)
=lim(n→∞) [(1/1 +1/2 + 1/3+...1/2n) - (1/1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n)]
=lim(n→∞) {[Σ(i=1,2n) 1/i] - [Σ(i=1,n) 1/i]}
=ln 2n - ln n
=ln 2 + ln n - ln n
=ln 2

謝謝老怪物大師的提醒與指教

2013-07-11 20:39:33 補充：
還好老怪物大師有看到這個錯誤，不然就誤了版主的提問了。

考慮不周，已在補充欄做了修正，感恩老怪物大師的提醒與指點！

2013-07-12 07:11:05 補充：
問題一
lim(n→∞) [(1/1 +1/2 + 1/3+...1/2n) - (1/1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n)]<---這是甚麼公式嗎

這不是公式，是中間步驟，多寫詳細一點的，免得跳太快你更看不懂。若這看不懂，只好舉個簡單例子來說：

令n=3
1/(n+1) + 1/(n+2) + ....+1/(n+n)
=1/(3+1) + 1/(3+2) + 1/(3+3)
=[1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/(3+1) + 1/(3+2) + 1/(3+3)] - (1/1 + 1/2 + 1/3)
=1/(3+1) + 1/(3+2) + 1/(3+3)

2013-07-12 07:11:29 補充：
就像

A
=(B+A) - B
=A

這樣的意思

2013-07-12 07:51:09 補充：
問題二
lim(n→∞) {[Σ(i=1,2n) 1/i] - [Σ(i=1,n) 1/i]}

=ln 2n - ln n <---ln是怎麼出來的

這牽涉到尤拉常數(Euler constant)，老怪物大師已經在意見欄說明，以下我就盡量推清楚。

尤拉常數 γ = lim(n→∞) {[Σ(i=1,n) 1/i] - ln n}
所以 lim(n→∞) Σ(i=1,n) 1/i = γ + lim(n→∞) ln n

2013-07-12 08:02:21 補充：
lim(n→∞) {[Σ(i=1,2n) 1/i] - [Σ(i=1,n) 1/i]}
= lim(n→∞) [Σ(i=1,2n) 1/i] - lim(n→∞) [Σ(i=1,n) 1/i]
= [γ + lim(n→∞) ln 2n] - [γ + lim(n→∞) ln n]
= lim(n→∞) (ln 2n - ln n)
= lim(n→∞) (ln 2 + ln n - ln n)
= lim(n→∞) ln 2
=ln 2

2013-07-12 08:02:26 補充：
至於尤拉常數γ為何是長那個樣子，這就超出你目前範圍了，只能暫時當成常數來用。
若這樣仍不明白，我也已經盡力了。不然版主就看看另一位意見者的方法，看能不能了解了。否則，大概就醬了。

2013-07-12 12:05:59 補充：
老怪物大師在意見欄講得比我清楚，就請板主參考一下吧。

2013-07-12 22:36:10 補充：
還是老怪物大師說得清楚，我也學到了。

考慮 [0, 1] 上 f(x) = 1/(1+x) 的定積分之定義，一行即得結果。

Σ(i=1,n) 1/(n+i) = Σ (1/n) 1/(1+i/n) 是一黎曼和, 其極限似為 ln(2).



另法:


Σ(i=1,n) 1/(n+i) = Σ_{i=1 to 2n} 1/i - Σ_{i=1 to n} 1/i ≒ ln(2n)-ln(n) = ln(2)

2013-07-11 19:29:38 補充：
上列第2法是利用
(1+1/2+...+1/n)-ln(n) → γ (Euler constant)

所以雖用近似, 其結果卻是原數列之極限無誤.

如果用較正式寫法,
原式 = (ln(2n)+γ+o(1))-(ln(n)+γ+o(1)) = ln(2n)-ln(n)+o(1) = ln(2)+o(1)

2013-07-12 11:23:39 補充：
(1)

Σ(i=1,n) 1/(n+i) = Σ (1/n) 1/(1+i/n) → ∫_[0,1] 1/(1+x) dx


(2)

lim(n→∞) {[Σ(i=1,2n) 1/i] - [Σ(i=1,n) 1/i]}
不能寫成 ln 2n - ln n

所以我最前面用的不是取極限, 而是 "≒".

但 "≒" 難免太粗略, 難以確定最後極限是 ln(2). 如果利用 Euler
常數及 small-o, 即
　 [Σ(i=1,2n) 1/i] - [Σ(i=1,n) 1/i] = (ln(2n)+γ+o(1))-(ln(n)+γ+o(1))
那就沒問題了!

2013-07-12 11:33:56 補充：
1+1/2+...+1/n 是 f(x) = 1/x 從 x=1 到 x=n 取整數點, 畫出寬度 1 之
矩形, 求這些矩形面積和.

ln(n) 是 f(x) = 1/x 曲線下, x 軸上, 從 x=1 到 x=n 之區域面積.

請自己畫個圖來呈現上面說的.

不難證明此兩者的差: (1+1/2+...+1/n) - ln(n), 當 n→∞ 時收斂到一個
定值, 稱之為 Euler constant, 以 γ 表示.

所以: 1+1/2+...+1/n = ln(n)+γ+o(1).

這些都是在初微範圍, 初微教本也大概有談到這個結果, 或者當成
exercise.