多項式餘式定理解題

1.
先把題目可以知道的東西寫出來
g(x)=(2x^2+x+3)Q1(x)+2x+5
=(x+2)Q2(x)+19
=(x+2)(2x^2+x+3)Q3(x)+ax^2+bx+c

雖然參考書上大部分都假設餘式為a(2x^2+x+3)+2x+5
我自認數學還算不錯
但老實說第一次看真的完全不知道是為什麼
因此我就自己想了個辦法 將餘式假設成ax^2+bx+c

接著先處理x+2的部分
將x=-2代入g(x) 可得4a-2b+c=19 先這樣擺著
比較麻煩的是2x^2+x+3的部分
上述三串式子都是g(x) 題目又說g(x)除以2x^2+x+3的餘式是2x+5
所以我將第三列式子g(x)=(x+2)(2x^2+x+3)Q3(x)+ax^2+bx+c拿去除以2x^2+x+3 目的是為了讓除出來的餘式=2x+5
此式的前面已有2x^2+x+3會整除 所以不會有餘式
因此 g(x)除以2x^2+x+5的餘式其實就是ax^2+bx+c除以2x^2+x+3的餘式
→ g(x)÷(2x^2+x+3)
=(ax^2+bx+c)÷(2x^2+x+3)=a/2 ... (b - a/2)x+(c - 3a/2)
得 b - a/2 = 2 → a-2b=-4
c - 3a/2 = 5 → 3a-2c=-10
在加上先前擺著的4a-2b+c=19 這樣就有三個式子可以解abc
這裡我就不作計算 直接寫答案
餘式=4x^2+4x+11

其實參考書的寫法
就是把我現在寫的方法簡化過而已
可是我從來沒用過那種 畢竟快的方法極容易忘
雖然這種寫法稍嫌慢了一點 不過卻能穩穩寫下正確答案
您可以自行斟酌

2.
一樣先將題目有的東西寫下來
f(x)=(x^2-1)Q1(x)+x+1
=(x^2+1)Q2(x)-x-1
已得知f(x)為一三次多項式
我先假設f(x)=(x^2+1)(ax+b)-x-1
你可能會問為什麼不用另一個條件假設
因為ax+b有兩個未知數 必須要有兩個條件才解得出來
再利用第一個條件
將x=1及x=-1分別代入
x=1 → 2(a+b)-1-1=2 → a+b=2
x=-1 → 2(-a+b)+1-1=0 → a-b=0
→ a=1 b=1
→ f(x)=(x^2+1)(x+1)-x-1=x^3+x^2

另外給您一個建議
解數學時 若能了解計算過程的想法 為什麼如此計算
將會事半功倍

有誤或不清楚還請提出






2013-07-13 07:32:58 補充：
有個地方寫得不是很好
g(x)÷(2x^2+x+3)=(ax^2+bx+c)÷(2x^2+x+3)
改為 g(x)÷(2x^2+x+3)的餘式
=(ax^2+bx+c)÷(2x^2+x+3)的餘式
其實我在上面就文字敘述過了
只是擔心您誤解再解釋一遍

2013-07-13 07:39:16 補充：
除的方式請用長除法

1)

g(x) = (2x^2+x+3)(x+2)Q(x) + a(2x^2+x+3) + 2x+5
x代入 -2 ,
= 9a+1 = 19
a=2

2(2x^2+x+3) + 2x+5

= 4x^+4x+11

2)

(3種方法, 看你喜歡哪一種)

(1):
假設f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

然後用綜合除法(分別除以x^2-1 ,x^2+1 ), 你會發現:

a=1
b=1
c=0
d=0

(2):

設 f(x)=a(x－1)(x^2+1)+b(x^2+1)－x－1
f(1)=b*2－1－1=1+1
b=2
f(x)=a(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+1
f(-1)=a(－2)*2+2+1+1=0
a=1
f(x)=(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+1
=(x^3+x－x^2－1)+2x^2－x+1
=x^3+x^2

(3):

令f(x) = (x^2-1)(ax+b)+x+1
=>f(x)=(x^2+1-2)(ax+b)=(x^2+1)(ax+b) - 2ax -2b +x +1
=(x^2+1)(ax+b)+(-2a+1)x + (-2b+1)
則, -2a+1 = -1 , -2b+1= -1 => a =1 , b=1

(x^2-1)(x+1)+x+1 = x^3 + x^2 .




不過版主似乎少打了一些東西,x^-1 , x^+1 我想是x^2-1 , x^2+1 希望我沒誤解.

希望我能幫到您^ ^

1. Sol
設 g(x)=q(x)(x+2)(2x^2+x+3)+a(2x^2+x+3)+2x+5
g(－2)=a(8－2+3)-4+5=19
9a=18
a=2
2(2x^2+x+3)+2x+5
=4x^2+4x+11

2. Sol
設 f(x)=a(x－1)(x^2+1)+b(x^2+1)－x－1
f(1)=b*2－1－1=1+1
b=2
f(x)=a(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+1
f(-1)=a(－2)*2+2+1+1=0
a=1
f(x)=(x－1)(x^2+1)+2x^2－x+1
=(x^3+x－x^2－1)+2x^2－x+1
=x^3+x^2

(1):
g(x) = (2x^2+x+3)(x+2)Q(x) + a(2x^2+x+3) + 2x+5
x代入 -2 ,
= 9a+1 = 19
a=2

2(2x^2+x+3) + 2x+5

= 4x^+4x+11

(2):

有２種方法, 第一種:

你假設f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

然後用綜合除法, 你會發現:

a=1
b=1
c=0
d=0

第２種:

令f(x) = (x^2-1)(ax+b)+x+1
=>f(x)=(x^2+1-2)(ax+b)=(x^2+1)(ax+b) - 2ax -2b +x +1
=(x^2+1)(ax+b)+(-2a+1)x + (-2b+1)
則, -2a+1 = -1 , -2b+1 => a =1 , b=1

(x^2-1)(x+1)+x+1 = x^3 + x^2 .

我本人喜歡用第一種方法


以上都是基本題喔, 請務必學會.

2013-07-11 13:32:17 補充：
抱歉少了一個東西 更正一下:

-2b+1 = -1


居然少打到這個...

2013-07-11 17:21:49 補充：
剛剛才發現 第２題版主打的是 x^-1 , x^+1 , 我卻直接看成 x^2-1 , x^2+1 . 不過算出來剛好是您說的答案, 真是巧 呵呵.

您應該是筆誤^ ^

2013-07-12 12:15:41 補充：
沒關係, 其實 我講義裡也有這一題, 他把這題放在資優挑戰題. 但我覺得其實是基本題(跟其他資優挑戰題比起來). 話說, 你也是剛剛畢業的嗎?

2013-07-12 13:03:30 補充：
前面a(2x^2+x+3) 應該沒問題吧?

後面跟 2x+5 就是g(x)被2x^2+x+3除的餘式.

問:

問什麼不是 +n(x-a) +k 而是2x+5

因為題目已經告訴你g(x)被2x^2+x+3除的餘式是2x+5.

不用多此一舉 再多未知數出來, 你也會發現:

公式: f(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + m(x-a)+n
公式: f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+ m(x-a)(x-b) + n(x-a) +k

這２套公式 後面的 n(x-a) +k 跟 m(x-a)+n 是一樣的東西.

2013-07-12 16:12:41 補充：
a(2x^2+x+3) , 是因為 除式 是３次式, 難道你要設ax^2+bx+c....?!

(2x^2+x+3)(x+2)Q(x) + a(2x^2+x+3) + 2x+5

既然是(2x^2+x+3)(x+2)Q(x) + a(2x^2+x+3) , 那後面當然是跟被(2x^2+x+3) 除的餘式: 2x+5

抱歉, 我可能不太會解釋...

2013-07-12 16:22:51 補充：
其實你 題型多瞭解一點, 題目多做一點, 多去想一些觀念. 這些東西沒理由搞不懂! 加油!

我是自修的 如果我可以 那你也可以, 不是嗎? 呵呵.