奧數1條(PCIMC)(組合、數論)

總數30C2=435,X+Y<60,X-Y>0
X+Y 和 X-Y不是互質的情況:
1,X-Y=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29
2,X+Y和X-Y同是單數或雙數
(雖同時乎合)
X-Y=2,X+Y有28總組合
X-Y=3,X+Y有17總組合
X-Y=5,X+Y有9總組合
X-Y=7,X+Y有5總組合
X-Y=11,X+Y有3總組合
X-Y=13,X+Y有1總組合
X-Y=17,X+Y有1總組合
X-Y=19,X+Y有1總組合
X-Y=23,X+Y有0總組合
X-Y=29,X+Y有0總組合
28+17+9+5+3+1+1+1=65
從1至30中(包括1和30)抽出兩個數X,Y (X>Y), 使得 X+Y 和 X-Y 互質,有370個方法選出X,Y

2013-07-12 20:42:06 補充：
4^8/8/2
=4096

2013-07-12 20:51:23 補充：
4^8/8/2=4096

2013-07-13 19:34:05 補充：
==! 你岩
X-Y=1,X+Y有0組合
X-Y=2,X+Y有28組合
X-Y=3,X+Y有9組合
X-Y=4,X+Y有26組合
X-Y=5,X+Y有5組合
X-Y=6,X+Y有32組合
X-Y=7,X+Y有3組合
X-Y=8,X+Y有22組合
X-Y=9,X+Y有7組合
X-Y=10,X+Y有24組合
X-Y=11,X+Y有1組合

2013-07-13 19:36:12 補充：
X-Y=12,X+Y有24組合
X-Y=13,X+Y有1組合
X-Y=14,X+Y有18組合
X-Y=15,X+Y有8組合
X-Y=16,X+Y有14組合
X-Y=17,X+Y有0組合
X-Y=18,X+Y有16組合
X-Y=19,X+Y有0組合
X-Y=20,X+Y有12組合
X-Y=21,X+Y有4組合

2013-07-13 19:41:15 補充：
X-Y=22,X+Y有8組合
X-Y=23,X+Y有0組合
X-Y=24,X+Y有8組合
X-Y=25,X+Y有1組合
X-Y=26,X+Y有4組合
X-Y=27,X+Y有1組合
X-Y=28,X+Y有2組合
X-Y=29,X+Y有0組合
X-Y=30,X+Y有0組合
435-(157+97+24)=157

2013-07-13 19:43:21 補充：
計唔到186=.=
求救-.-
因為我用筆紙同等比數列計
可能計錯左T^T

2013-07-13 19:46:43 補充：
等等 想到了T_T
哈哈...哈

2013-07-13 19:59:07 補充：
我知啦 DOUDLE左
X-Y=6,X+Y有24組合
X-Y=8,X+Y有22組合
X-Y=10,X+Y有20組合
X-Y=12,X+Y有18組合
X-Y=14,X+Y有16組合
X-Y=16,X+Y有14組合
X-Y=18,X+Y有12組合
X-Y=20,X+Y有10組合
X-Y=22,X+Y有8組合
X-Y=24,X+Y有6組合
X-Y=26,X+Y有4組合
X-Y=28,X+Y有2組合
X-Y=15,X+Y有7組合
所以186

2013-07-14 01:40:06 補充：
X+Y,X-Y互質=>X,Y互質
怎麼我沒想到這一步T_T
我看見等比數列可以算到,就沒想下去了(雖然未必想到-_-')
快多了....快多了T__T

奇斯,見到未=.=
正解已在樓上

2013-07-14 01:42:14 補充：
而φ(21)=21(1-1/3)(1-1/7),其實係[(21/7)-1][(21/3)-1]=,=

2013-07-14 01:54:48 補充：
不不不!其實係21-21/3-21/7+1=,=
咁岩又會出到個數列

2013-07-14 14:35:52 補充：
正解 BY自由自在
φ(n)為比n小而和n互質的數的數目
如φ(6)=2;[1及5]
φ(9)=6;[1,2,4,5,7及8]
X+Y及X-Y互質=>X,Y=奇偶 或 偶奇
若 gcd(X,Y)=d≠1
X=kd;Y=hd
X+Y=(k+h)d
X-Y=(k-h)d
則X+Y及X-Y不互質
所以X+Y,X-Y互質=>X,Y互質
若X為偶數，Y和X互質的都是奇數
若X為奇數，Y和X互質的一半是奇數（不合），一半是偶數
因此X，Y的組合有
1／2 [φ(1)+φ(3)+⋯+φ(29)]+[φ(2)+φ(4)+⋯+φ(30)]=186

2013-07-14 14:37:55 補充：
正解 BY自由自在
φ(n)求法很簡單，如φ(21)=21(1-1/3)(1-1/7)=12
如φ(9)=9(1-1/3)=6
如φ(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4

X和Y 只會同時單數

只有186個組合。。。。

2013-07-13 23:15:20 補充：
φ(n)為比n小而和n互質的數的數目
如φ(6)=2;[1及5]
φ(9)=6;[1,2,4,5,7及8]
X+Y及X-Y互質=>X,Y=奇偶 或 偶奇
若 gcd(X,Y)=d≠1
X=kd;Y=hd
X+Y=(k+h)d
X-Y=(k-h)d
則X+Y及X-Y不互質
所以X+Y,X-Y互質=>X,Y互質
若X為偶數，Y和X互質的都是奇數
若X為奇數，Y和X互質的一半是奇數（不合），一半是偶數
因此X，Y的組合有
1／2 [φ(1)+φ(3)+⋯+φ(29)]+[φ(2)+φ(4)+⋯+φ(30)]=186

2013-07-13 23:15:44 補充：
φ(n)求法很簡單，如φ(21)=21(1-1/3)(1-1/7)=12
如φ(9)=9(1-1/3)=6
如φ(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4