在不使用洛必達法則的情況下，證明：

這本來就不應該用 L'Hopital's rule, 因為它是 e^x 在 x=0 的
導數的定義式.

而要證明, 關鍵是 e^x 是如何定義的?

2013-07-12 11:10:19 補充：
指數函數 e^x 有許多定義方式, 因此, 要證明 lim_{x→0}(e^x-1)/x = 1
有不同方法.

一種不是很嚴謹的方法, 是直接由 a^n, n 為正整數, 逐步擴充至 a^x,
x 為實數. 其中 a>0. 由此得
　 (d/dx)a^x = lim_{h→0}a^x(a^h-1)/h = a^x lim_{h→0}(a^h-1)/h
然後定義 e 是使 lim_{h→0} (a^h-1)/h = 1 的 a 值. 在這樣的定義之
下, lim_{x→0}(e^x-1)/x 其實是定義的結果.

另一種方式, 先定義 ln(x), 而後定義 f(x) = e^x 是 g(x) = ln(x) 的反函
數. 於是, 由反函數微分定理,
　 f'(x) = 1/g'(f(x)) = f(x) = e^x
所以 lim_{x→0} (e^x-1)/x = f'(0) = e^0 = 1.
這種方式可以達到很嚴謹: 因 ln(x) 可以用 ∫_[1,x] 1/t dt 嚴謹地定義.

再一種方式, 利用微分方程:
　 y' = y, y(0)=1
定義出 y = e^x. 只要能確定上列微分方程的解存在且唯一, 這種定義
也是嚴謹的. 而 lim_{x→0}(e^x-1)/x = y'(0) = y(0) = 1, 得證.

又一種方式, 是樓上回答所用的. 比較嚴謹地寫出來, 是:
冪級數 Σ_{n=0 to ∞} x^n/n! 在整個數線, 也就是對於任意實數 x, 都
是收斂的. 令其極限為 f(x), 欲 exp(x) 或 e^x 表示. 當然, 要能寫成 e^x,
首先要證明 f(x+y) = f(x)f(y), 對任意 x, y.
確定了 e^x 是 well-defined 之後, 由冪級數理論, 得
　 (d/dx)e^x = Σ (d/dx)x^n/n! = Σ x^{n-1}/(n-1)! = e^x
因此, lim_{x→0} (e^x-1)/x = (d/dx)e^x|_{x=0} = 1+0/1!+0^2/2!+... = 1.


注意: 像這樣的極限式用 L'Hopital's rule 是錯的! 因為此極限式就是
　　 e^x 在 x=0 之導數的定義式. 而整個 e^x 函數的導數的關鍵是
　　 x=0 之導數 (如前面 a^x 之導數定義式所呈現的). 而 L'Hopital's
　　 rule 的使用, 連帶用了 (d/dx)e^x|_{x=0} 或在 x=0 附近的 e^x
　　 的導數. 利用 A 產生的結論證明 A, 不是循環論證嗎?




2013-07-12 11:13:40 補充：
定義 :
e^x = Σ(n=0 ~>n=∞) [ x^n ] / n!

則
e^{s+t} = Σ_{n=0 to ∞} (s+t)^n/n!

而
(e^s)(e^t) = (Σ_{n=0 to ∞}s^n/n!)(Σ_{m=0 to ∞}t^m/m!)
　 = Σ_{k=0 to ∞}Σ_{m+n=k} (s^n t^m)/(n!m!)
　 = Σ_{k=0 to ∞}[Σ_{m+n=k} (s^n t^m)k!/(n!m!)]/k!
　 = Σ_{k=0 to ∞} (s+t)^k/k!
　 = e^{s+t}

2013-07-15 10:01:12 補充：
"老怪物提出的解法還可以用嗎?"


我開宗明義就說了: 因為 e^x 的不同定義, 所以證明也不同.

那麼你們的定義是什麼方式?




"要用基本原理(first principle)找出exp(x)的導數"


所謂的 "基本原理" 是什麼東西? 如果是指導數定義
lim_{h→0}(e^{x+h}-e^x)/h 之類的, 似乎不應稱什麼 "principle"?

exp{x} = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ..
=> exp{x} - 1 = x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ..
=> (exp{x} - 1)/x = 1 + x/2! + x^2/3! + ..

故當 x 趨近於零時 , (exp{x} - 1)/x 趨近於 1 .