高中數學解題><........

1.(BCD)
A(X)：a=√2, b=2√2
B(O)：(2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c)為有理數
所以a+b+c為有理數，但2a+b為有理數，相減得c-a為有理數
因為c-a為有理數，2c+a為有理數，相加得3c為有理數，所以c為有理數，同理可推出a,b都是有理數。
C(O)：ab=0，a和b至少有一為0
D(O)：令c=(a+b)/2
E(X)：a=√3, b= -1

2.(BD)
A(X)：-1 > -2 但 (-1)^2 < (-2)^2
B(O)：
C(X)：2 > -2 但 1/2 > 1/(-2)
D(O)：和上題D同
E(X)：看不懂，大概是│a-b│ >= 1 吧？必須要a≠b才成立

1.下列何者為真??
(A)若a、b均為無理數，則a分之b必為無理數

　　　　反例: a=b=√2, 則 b/a = 1 是有理數.
　　　　又例: a=√18, b=√2, 則 b/a = 1/3.

(B)若2a+b、2b+c、2c+a均為有理數，則a、b、c也必為有理數

　　　　a = (4/9)(2a+b)-(2/9)(2b+c)+(1/9)(2c+a)
　　　　b = (1/9)(2a+b)+(4/9)(2b+c)-(2/9)(2c+a)
　　　　c = (-2/9)(2a+b)+(1/9)(2b+c)+(4/9)(2c+a)
　　　　由於有理數在加、減、乘、除(除數不為0) 都有封閉性,
　　　　意即有理數做上述運算結果仍是有理數. 故 a,b,c 也是
　　　　有理數.

(C)若a、b均為無理數，則ab不可能為0

　　　　ab=0 則 a=0 或 b=0. 因 0 是有理數, 而 a, b 是無理數,
　　　　故不為 0.

(D)若QЭa、b，且a<b，則存在一數QЭc，使得a<c<b

　　　　取 c = (a+b)/2 即可. 故得證.

(E)設a、b是實數，若a+b根號3=0，則a、b均為0

　　　　反例: a = -3, b=√3, 則 a+b√3 = 0.
　　　　若 a, b 限制在有理數, 則成立, 因否則 b = -a/√3 是無理數.



2.下列選項何著恆成立?
(A)若RЭa，b、a>b、則a平方>b平方

　　　　反例: a=1, b=-2, a^2 < b^2, 雖然 a>b.
　　　　若限制 a, b 非負, 則 a>b 可推得 a^2>b^2.

(B)若RЭa，b、a平方+b平方=0、則a=b=0

　　　　若 a 或 b 不為 0, 則對應的 a^2>0 或 b^2>0,
　　　　如此將得 a^2+b^2 > 0. 因此 a^2+b^2 = 0 可推得 a=b=0.

　　　　若 a, b 不是實數而是允許虛數, 則 1^2+i^2 = 1+(-1) = 0.

(C)若a•b≠0、a>b則a分之1<b分之1

　　　　反例: 2 > -1, 而 1/2 不小於 1/(-1) = -1.
　　　　若 a>b>0, 則 1/a < 1/b;
　　　　若 0>a>b, 也得 1/a < 1/b.
　　　　也就是說: 若 ab>0, 則 a>b 可推得 1/a < 1/b.

(D)設QЭa，b、a<b，則至少可以找到一個有理數c，使得a<c<b

　　　　（同前一題 (D).)

(E)設a，b均為整數，則∣a-b∣≧1

　　　　必須是 a, b 為相異整數, 才能保證 |a-b|≧1.
　　　　否則取 a=b, (都)是整數, 而 |a-b| = 0.