請問一題微積分

由Gamma函數Γ(n+1)=n!

以及Beta函數B(x,y)=∫(0,1) t^(x-1)*(1-t)^(y-1) dt

又B(x,y)=Γ(x)*Γ(y)/Γ(x+y)

∫(0,1) x^19*(1-x)^20 dx
=B(20,21)
=Γ(20)*Γ(21)/Γ(41)
=(19!)*(20!)/(40!)

∫(0->1) (x^19)(1-x)^20 dx
=(1/20) ∫(0->1) (1-x)^20 d(x^20)
=(1/20)[(x^20)(1-x)^20](0->1) - (1/20) ∫(0->1) (x^20) d(1-x)^20
=(1/20)[(1^20)(1-1)^20 - (0^20)(1-0)^20] - (1/20) ∫(0->1) (x^20) d(1-x)^20
= ∫(0->1) (x^20)(1-x)^19 dx
= (19/21) ∫(0->1) (x^21)(1-x)^18 dx
= {[(19)(18)...(1)] / [(21)(22)...(39)]} ∫(0->1) (x^39)(1-x)^0 dx
= {(19!)(20!) / [(20!)(21)(22)...(39)]} ∫(0->1) (x^39) dx
= [(19!)(20!) / (40)(39!)] (x^40) (0->1)
= [(19!)(20!) / (40!)] (1^40 - 0^40)
= (19!)(20!)/(40!)