高中數學 數列 極限

令 Bn = (3An+2)/(5An-1), 則
　An = (Bn+2)/(5Bn-3) 當 Bn≠3/5.因 Bn→2, 故 n 夠大時 Bn≠3/5 成立. (*)
因 lim Bn 存在, 故 lim (Bn)+2, lim 5(Bn)-3 都存在.

又 lim 5Bn-3 = 7 ≠ 0, 所以
　lim An = lim (Bn+2)/(5Bn-3) = (2+2)/(5*2-3) = 4/7,
所以 < An > 收斂.






(*) 要證明這件事, 必須由極限的正式定義入手:
lim An = a 意為:
對任意 e>0, 存在 N, 使得:
當 n>N 時, 均有 |An - a| < e.



又: (另法, 可能不適用於高中數學)

設 < An > 不收斂, 則可能 (1) < An> 無界, (2) <An> 有界但不收斂.

Case (1): <An> 無界, 則存在子列 A(n_k)→∞ 或 → -∞.
　 則 Bn = (3+2/An)/(5-1/An) → (3+0)/(5-0) = 3/5.
　 此與 lim Bn = 2 矛盾.

Case (2): 若 <An> 有界, 則必有一收斂子列 <A(n_k)>.
　 則 2 = lim B(n+k) = (3 lim A(n_k) + 2)/(5 lim A(n_k)-1)
　 由此解得 lim A(n_k) = 4/7.

< An > 有界, 且其每一收斂子列都收斂到 4/7, 故 <An > 收斂,
　 且 lim An = 4/7.




2013-07-01 18:58:51 補充：
若 有界, 則必有一收斂子列 .
　 則 2 = lim B(n_k) = (3 lim A(n_k) + 2)/(5 lim A(n_k)-1)
　 由此解得 lim A(n_k) = 4/7.

2013-07-01 19:02:45 補充：
若 An 無界, 則存在子列 A(n_k)→∞ 或 → -∞.
　 則 B(n_k) = (3+2/A(n_k))/(5-1/A(n_k)) → (3+0)/(5-0) = 3/5.
　 此與 lim Bn = 2 矛盾.

2013-07-01 19:11:36 補充：
注意: 極限的四則運算都是在運算的數列或函數極限存在的條件上的.

因此, 由 lim Bn 存在, 才能推論出以 B_n 表不的 A_n 極限存在.

而在第2方法的證明中, 是由 lim A(n_k) 存在, 或 lim 1/A(n_k) 存在,
才能由 lim B(n_k) 與 lim A(n_k) 的關係推論出 lim A(n_k) 應該是多
少.


因為題目是要證明 lim An 存在, 因此不能直接把極限的運算公式
用在 lim (3An+2)/(5An-1).

2013-07-02 11:40:51 補充：
怎麼還有錯? orz

(法1) (高中適用)

令 Bn = (3An+2)/(5An-1), 則 An = (Bn+2)/(5Bn-3) 當 Bn≠3/5;
且依假設, lim Bn = 2.

因 lim Bn = 2, 可知當 n 夠大時, Bn≠3/5.

又因 lim Bn 存在, 且 lim (5 Bn -3) = 5(lim Bn)-3 = 7 ≠ 0,
因此,
lim An = [(lim Bn)+2]/lim(5 Bn -3) = (2+2)/7 = 4/7.

2013-07-02 11:48:46 補充：
(法 2) (用到 "子序列", 高中大概沒談過?)

數列 {An} 可能無界, 可能有界.

設 {An} 無界, 則存在一子序列 A(n_k)→∞ 或 → -∞.
故 (3A(n_k)+2)/(5A(n_k)-1) = (3+2/A(n_k))/(5-1/A(n_k)) → (3+0)/(5-0) ≠ 2
與假設不符.

故 {An} 有界.

2013-07-02 11:49:13 補充：
設 {An} 有界.

則: 存在一子序列 A(n_k) 收斂, 設 lim A(n_k) = a.
故 (3A(n_k)+2)/(5A(n_k)-1) → (3a+2)/(5a-1) = 2.
最後一等式是因假設 (3An+2)/(5An-1)→2.

所以, a = 4/7.

此意謂: {An} 之每一收斂之子序列都收斂到 4/7.
而這蘊涵 lim An 存在, 並且極限值是 4/7.

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老怪物大師的回答為正解！

以下只是針對版主的疑問再補充說明一下
疑問："為什麼 收斂 而且取極限等於 2？"

Ans：因為題目已知"把 3 +2 / 5 -1 取極限 則等於 2"
表示上式收斂且取極限為2
現在只是令3 +2 / 5 -1為Bn
同樣一個東西，當然Bn也是收斂且取極限為2。

另外，版主最好把3 +2 / 5 -1打成
(3 +2) / (5 -1)，否則因為先乘除後加減，會誤會成
3 + (2 / 5 ) -1

2013-07-01 19:31:45 補充：
不知為何一些符號不見了，重打如下：

疑問："為什麼 < Bn > 收斂 而且取極限等於 2？"

Ans：因為題目已知"把 3 < An > +2 / 5 < An > -1 取極限 則等於 2"
表示上式收斂且取極限為2
現在只是令3 < An > +2 / 5 < An > -1為 < Bn >
同樣一個東西，當然 < Bn > 也是收斂且取極限為2。

2013-07-01 19:31:52 補充：
另外，版主最好把3 < An > +2 / 5 < An > -1打成
(3 < An > +2) / (5 < An > -1)，否則因為先乘除後加減，會誤會成
3 < An > + (2 / 5 < An > ) -1