問2題初等微積分的題目

令 t = x^{1/3},
[√(1+t) -2]/(t^3-27) = [√(1+t)-2][√(1+t)+2]/{(t-3)(t^2+t+1)[√(1+t)+2]
= 1/{(t^2+t+1)[√(1+t)+2]}

即,
[√(1+x^{1/3})-2]/(x-27) = 1/{(x^{2/3}+x^{1/3}+1)[[√(1+x^{1/3})+2]}
　 → 1/{(9+3+1)[√(1+3)+2]} = 1/{(13)(4)} = 1/52 當 x → 27.



令 t = x^{1/4}, 則
(t^2-t-2)/(t^4-16) = (t-2)(t+1)/[(t-2)(t+2)(t^2+4)] = (t+1)/[(t+2)(t^2+4)]

即:
(√x - x^{1/4}-2)/(x-16) = (x^{1/4}+1)/[(x^{1/4}+2)(√x +4)]
　 　 → (2+1)/[(2+2)(4+4)] = 3/32.



2013-06-30 19:06:25 補充：
感謝指正!

修正如下:

令 t = x^{1/3},
[√(1+t) -2]/(t^3-27) = [√(1+t)-2][√(1+t)+2]/{(t-3)(t^2+3t+9)[√(1+t)+2]
= 1/{(t^2+3t+9)[√(1+t)+2]}

即,
[√(1+x^{1/3})-2]/(x-27) = 1/{(x^{2/3}+3x^{1/3}+9)[[√(1+x^{1/3})+2]}
　 → 1/{(9+9+9)[√(1+3)+2]} = 1/{(27)(4)} = 1/108 當 x → 27.

2013-06-30 22:59:42 補充：
換成 t 只是為了方便, 特別是在這打字時. 不換當然也可以, 把 t 的地方
換成原來的東西, 第1題是 x^{1/3}, 第2題是 x^{1/4}, 其他過程沒變.

其實, 可以直接換成 t, 第1題 x→27 換成 t→3; 第2題 x→16 換成 t→2.
這樣會比較清爽. 而這樣的代換, 可以證明是完全可行的.

2013-06-30 23:03:10 補充：
與其說使用羅比達, 不如說用微分.

第1題就是 f(x) = √(1+x^{1/3}) 在 x=27 的導數定義式;
第2題就是 g(x) = √x - x^{1/4} 在 x=16 的導數定義式.

對於導數定義式, "使用羅比達" 的作法, 個人是認為
不應當的.

2013-07-01 02:04:22 補充：
[√(1+x^{1/3})-2]/(x-27)
= [√(1+x^{1/3})-2][√(1+x^{1/3})+2]/{(x^{1/3}-3)(x^{2/3}+3x^{1/3}+9)[√(1+x^{1/3})+2]}
= (x^{1/3}-3)/{(x^{1/3}-3)(x^{2/3}+3x^{1/3}+9)[√(1+x^{1/3})+2]}
= 1/{(x^{2/3}+3x^{1/3}+9)[[√(1+x^{1/3})+2]}
→ 1/{(9+9+9)[√(1+3)+2]} = 1/{(27)(4)} = 1/108 當 x → 27.

2013-07-01 02:08:15 補充：
(√x - x^{1/4}-2)/(x-16)
= (x^{1/4}+1)(x^{1/4}-2)/[(X^{1/4}-2)(x^{1/4}+2)(√x +4)]
= (x^{1/4}+1)/[(x^{1/4}+2)(√x +4)]
→ (2+1)/[(2+2)(4+4)] = 3/32, 當 x →16

同意樓上見解
導數定義範圍較廣
不能一見到極限就往羅比達想

0/0型
使用羅比達

分子分母個別微分後代入x

(1) the answer is 1/108