微積分極限值

ln(k) - ∫_[k-1,k] ln(x) dx = -∫_[k-1,k]ln(x/k) dx
　　 = - ∫_[0,1] ln(1-u/k) du
　　 = - ∫_[0,1] [-(u/k)-(u/k)^2/2 -... ] du
　　 = ∫_[0,1] [u/k + u^2/(2k^2) + ... ] du
　　 > 1/(2k) 所以
　 ln(e^n n!/n^n) = n-n*ln(n)+ln(1)+...+ln(n)
　　　　 = n - n*ln(n) + ln(2)+...+ln(n)
　　　　 > n - n*ln(n) + ∫_[1,n] ln(x) dx + (1/2)(1/2+1/3+...+1/n)
　　　　 = 1/2 +(1/2)(1+1/2+...+1/n) > (1/2)ln(n) = ln√n故:
　 e^n n!/n^n > √n → ∞ 當 n→∞
所以 lim (e^n n!/n^n) = ∞.



註:
如果用 Stirling's formula, n! ≒ n^n e^{-n) √(2πn), 答案立得.

我想是考慮

(n!)/(n^n) ≦ (e^n)(n!)/(n^n) ≦ (e^n)(n!)²/(n^n) ?