泰勒公式中的餘項之推導過程

本文所有上標都跑到下標去了，我無法修改，可能是系統關係，請自行調整。f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)²/2!+…+f(n)(a)(x-a)n/n!+ Rn(x)其餘項:Rn(x)=fn+1(c)*(x-a)n+1/(n+1)!，其中x < c < a or a < c < x(pf)令p(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)²/2!+…+f(n)(a)(x-a)n/n! ……..(1)所以f(x)=p(x)+ Rn(x)………(2)對(1)微分p’(x)=0+f’(a)+2f’’(a)(x-a)/2!+3f’’’(a)(x-a)²/3!+…+nf(n)(a)(x-a)n-1/n!= f’(a)+f’’(a)(x-a)/1!+f’’’(a)(x-a)²/2!+…+f(n)(a)(x-a)n-1/(n-1)! ………………….(3)由(1)，將x=a帶入p(x)得p(a)=f(a) 再代入(2)得Rn(a)=0由(3)，p’(a)=f’(a)，(2)微分得f’(x)=p’(x)+ R’n(x)，代入a得R’n(a)=0若再微分下去同理可得p(n)(a)=f(n)(a) 所以Rn(n)(a)=0 由(1)知p(x)微分n次後為常數，所以pn+1 (x)=0，Rn(n+1)(a)= f(n+1)(a)…..(4)利用廣義均值定理u’(c)/v’(c)=[u(t)-u(s)]/[v(t)-v(s)] 其中 s < c < t令s=a, t=x,u(x)=Rn(x),v(x)=(x-a)(n+1)R’n(t1)/[(n+1)(t1-a) n]=[Rn(x)-Rn(a)]/(x-a) (n+1) =Rn(x)/(x-a) (n+1) (因為Rn(a)=0)其中 令c= t1 且 a < t1 < x 再用一次廣義均值定理Rn(x)/(x-a) (n+1) = R’’n(t2)/[n(n+1)( t2-a)n-1] 且a < t2< t1重複使用廣義均值定理得...Rn(x)/(x-a) (n+1) = R(n+1)n(c)/(n+1)! 且 a < c < tn (a < c < x)再由(4)得Rn(x)/(x-a) (n+1) = f(n+1)(c)/(n+1)! 即Rn(x) = f(n+1)(c)* (x-a) (n+1)/(n+1)!故得證！


2013-07-04 12:40:58 補充：
因為他只是想要求出誤差值的大小，其實不加絕對值算出來的答案仍相同。從他的下一行
e^0.5介於1.625-0.042~1.625+0.042之間
就看得出來他的誤差部分有減有加 ( -0.042和+0.042)。

還有，你打指數式不能這樣打：e<4,e0.5<40.5=2
還好我看得懂，換做別人，10個有9個半會看不懂，應該打成
e<4,e^0.5<4^0.5=2
否則人家一定會讀作 e小於4，e乘以0點5，小於40點5，等於2。然後就一頭霧水。
還有e^x和e^c你都打成ex和ec，這樣沒人看得懂。

2013-07-04 18:21:57 補充：
你說的沒有錯，實際的值應該在1.625到1.625+0.042之間。
但這是你已經知道1.625是低估的值的時候(因為x=0.5)，
事實上當x為正時都會是低估，所以都只要加上誤差值即可。

因為只取三項，誤差值蠻大的，並不一定是低估，若取x= -1，
e^(-1)≒0.366

2013-07-04 18:22:03 補充：
若用前三項e^x≒1+1/x+(x^2)/2來算，e^(-1)≒0.5
這樣就高估了。事實上，x小於0都會高估，都只要減誤差值即可。
但取四項又不一樣，取五項又不一樣。........
所以他是懶得去估計到底是高估還是低估，反正兩邊都取絕對不會錯。
只是這個原因，所以一般算Rn都會加絕對值，使Rn可能正可能負。
因為他不知道你要取幾項，也不知道你的x要取多少。

2013-07-04 22:02:30 補充：
展開式各項都是加的，像e^x這種展開式，取x大於0的一定是低估，因為後面還要加。但取x小於0時就不一定，要畫圖才看得出來。至於展開式一加一減的，像sin x或cos x展開式，就很難評估，若加上取的項數多，就更難評估。所以一般都不去檢查高估或低估，就左邊一減右邊一加取出範圍就交差，因為已經證明過，加減│Rn│保證一定正確。你這題是因為太容易評估，才會有這個疑問。若根本評估不出來，你就不會有疑問了。例如，取10項，取x= -0.3，看你如何評估？所以就變成反正不管評估難易，都做一樣的動作。不過你有這個疑問是對的，但若這類題目你作多了，你也會懶得去看到底是高估還是低估。

2013-07-05 16:29:57 補充：
謝謝老怪物大師的詳細補充。

2013-07-05 16:34:51 補充：
還有您對Lagrange remainder 的證明，我有過去看過了，是很簡捷的證明！

在 tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1513052402803
我的回答下方有 Lagrange remainder 的證明(推導).

另外,
f(x)-f(a) = ∫_[a,x] f'(t) dt
　 = -(x-t)f'(t)|_[a,x] + ∫_[a,x] (x-t)f"(t) dt = (x-a)f'(a) + ∫_[a,x] (x-t)f"(t) dt

2013-06-29 16:03:30 補充：
　 = (x-a)f'(a) + [(x-a)^2/2!]f"(a) + ∫_[a,x] [(x-t)^2/2!]f"'(t) dt
　 = (x-a)f'(a)+[(x-a)^2/2!]f"(a)+[(x-a)^3/3!]f"'(a) + ∫_[a,x] [(x-t)^3/3!]f""(t) dt

以此類推, 得 Cauchy remainder. 由 Cauchy remainder 應用積分均值
定理, 亦可得 Lagrange remainder.

2013-07-05 15:13:20 補充：
為什麼☆處的R2(0.5)要冠上絕對值?


既然用 remainder 來估計誤差, 是否要加絕對值是
依 remainder 而定的.

e^0.5 = 1+0.5/1 + 0.5^2/2 + R2(0.5)

R2(0.5) = (d/dx)^3(e^x)|_{x=c} (0.5)^3/3! = (e^c)(0.125/6)
其中 c 介於 0 與 0.5 之間, 因此,
0.125/6＜R2(0.5)＜(e^0.5)(0.125/6)＜2(0.125/6)
所以 1.625 用於近似 e^0.5, 至少低估約 0.021, 至多低估 0.042.

2013-07-05 15:22:33 補充：
如果計算的是 e^{-0.5},
e^{-0.5} = 1-0.5/1+0.5^2/2+R2(-0.5) = 0.625+R2(-0.5)

R2(-0.5) = (e^c)(-0.5)^3/3! = -0.021 e^c.
同樣, e^c 必為正, 因此 R2(-0.5) 必為負, 0.625 高估 e^{-0.5}.

1/2＜e^{-0.5}＜e^c＜e^0=1, 因此, 0.010 < -R2(-0.5) < 0.021,
或 -0.021＜R2(-0.5)＜-0.010.

用 0.625 估 e^{-0.5}, 最少高估 0.010, 最多高估 0.021.