數列的收斂怪怪的

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2013-06-20 3:23 am

題目是說決定數列發散或收斂

一題 An= sin^2(n/2n+1)+cos^2(n/2n+1)

數列的收斂不是只要有界當n趨近無限大若是an有界不是收斂嗎?

An有界阿 =1阿

可是參考書的答案說這題發散因為limn接近無限大an不等於0=sin^2(1/2)+cos^2(1/2)=1 極限值不等於一所以發散這是參考書給的答案我覺得它好像故意寫錯

好缺德喔那個limn接近無限大an不等於0 不是拿來判定正向"級數"收斂嗎?

它怎麼會用這個來判斷數列的收斂數列的收斂不是只要有界?

我在想說他是不是弄錯搞成級數的收斂??

更新1:

數列是收斂的 ^^ 感恩老怪物謝謝^^ 我打算考完試把那本參考書燒掉!!

回答 (2)

老怪物

2013-06-20 4:09 am

✔ 最佳答案

數列有界不一定收斂.

例如 a_n = (-1)^n, 這個數列有界, 不收斂.
另一個例子: a_n = sin(n).

事實上有界而不收斂的多得是, 例子隨便就可舉一籮筐.

An= sin^2(n/2n+1)+cos^2(n/2n+1)

不管裡面的 n/2n+1 究竟是什麼東西, sin 與 cos 內的相同,
則 An ≡ 1, 因此當然是收斂的.

事實上, 如果裡面是 n/(2n+1), 那麼它收斂至 1/2.
因為 sin, cos 是連續函數, 因此,
lim sin(n/(2n+1)) = sin(1/2)
lim cos(n/(2n+1)) = cos(1/2)

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用戶39960

2013-06-20 8:20 am

有界還要加上"單調"才會收歛.

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收錄日期: 2021-05-04 01:58:04
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130619000016KK05021

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